莫爾斯理論

在微分拓撲中，莫爾斯理論使人們能通過流形上的可微函數分析流形的拓撲。根據馬斯頓·莫爾斯的基本見解，流形上的可微函數在典型的情況下，直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到CW結構和柄分解，並得到關於它們的同調的資訊。

在莫爾斯之前，阿瑟·凱萊和麥克斯韋在測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量泛函的臨界點）。這些技術被拉烏爾·博特用於他的著名的博特週期性定理的證明中。莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論。

基本概念

考慮山地地表表面M（或流形）。若函數f $M\to \mathbb {R}$ 給出當點海拔，則 $\mathbb {R}$ 中一點的原像就是一條等高線（或水平集）。等高線的連通組分或者是點，或者是簡單閉合曲線，或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點（三重點等等），但不穩定，可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。

想像用水淹沒等高線下的地形。水位達到a時，水下的表面是 $M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]$ ，海拔不高於a的點。想像一下隨着水位上升，這個面的拓撲結構將如何變化。除了當a經過臨界點的海拔時，f的梯度都為0（更一般地，作為切空間之間線性映射的雅可比矩陣不具有最大秩）。也就是說，除非(1)水流注入盆地，(2)覆蓋鞍點（山道），或(3)淹沒山頂，否則 $M^{a}$ 的拓撲不變。

盆地、山路、山頂（即最小點、鞍點、最大點）這三類臨界點，一般與指標（index）有關，即f從該點遞減的獨立方向數。或者說，f的非退化臨界點p的指標是M在p處切空間的最大子空間的維度，其中f的黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是 $0,1,2$ 。

考慮更一般的面，令M是方向如圖所示的環面，f還是點到平面的距離。可以再次分析水下面 $M^{a}$ 的拓撲結構如何隨水位a上升而變化。

從環面底部開始，令 $p,q,r,s$ 分別是指標為 $0,1,1,2$ 的臨界點，對應最小值、兩個鞍點、最大值。 $a<f(p)=0$ 時， $M^{a}$ 是空集；a經過p的海拔之後有 $0<a<f(q)$ ，則 $M^{a}$ 是圓盤，它同倫等價於「附着」到空集的一個點（0-胞腔）。接着，a越過q的海拔時有 $f(q)<a<f(r)$ ，則 $M^{a}$ 是圓柱，同倫等價於附着了1-胞腔的圓盤（左圖）。a越過r的海拔時有 $f(r)<a<f(s)$ ，則 $M^{a}$ 是去圓盤的環面，同倫等價於附着了1-胞腔的圓柱（右圖）。最後，a高於s的海拔後， $M^{a}$ 便是環面了，即去掉一個圓盤（2-胞腔）並重新附着的環面。

這說明了以下規則：除非a越過臨界點，否則 $M^{a}$ 的拓撲不變；遇到臨界點時，一個 $\gamma$ -胞腔會被附着到 $M^{a}$ ，其中 $\gamma$ 是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼，可以通過擾動f來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形，這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉坐標系。

必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題：令 $M=\mathbb {R}$ 、 $f(x)=x^{3}$ 。則0是f的一個臨界點，但a經過0時 $M^{a}$ 的拓撲並不改變。這是因為f在0的二階導 $f''(0)=0$ ，也就是f的黑塞矩陣為0，臨界點退化。這種情形是不穩定的，因為將f擾動為 $f(x)=x^{3}+\epsilon x$ ，則退化的臨界點或者被移除（ $\epsilon >0$ ）或者分解為兩個非退化臨界點（ $\epsilon <0$ ）。

形式發展

對於微分流形M上的實值光滑函數 $f:M\to \mathbb {R}$ ，f的微分為0的點稱作f的臨界點，在f下的像稱作臨界值。若臨界點p處，二階偏導數矩陣（黑塞矩陣）非奇異，則p稱作非退化臨界點；若黑塞矩陣是奇異的，則p稱作退化臨界點。

函數 $f:\ \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ： $f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots$ $b=0$ 時，原點是f的一個臨界點。若 $c\neq 0$ ，則此臨界點是非退化的（即f具有形式 $a+cx^{2}+\cdots$ ）；若 $c=0$ ，則此臨界點是退化的（即f具有形式 $a+dx^{3}+\cdots$ ）。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。

f的非退化臨界點p的指標（index）是M在p處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是f遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的局部坐標系無關，如西爾維斯特慣性定理所示。

莫爾斯引理

令p為 $f:M\to R$ 的非退化臨界點。則，在p的鄰域U中存在卡 $\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ ，使得 $\forall i,\ x_{i}(p)=0$ 且在整個U中 $f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ 其中 $\gamma$ 等於f在p處的指標。作為莫爾斯引理的推論，可以看到非退化臨界點是孤點（關於複數域的擴張，可見復莫爾斯引理。關於推廣，見莫爾斯–帕萊引理）。

基本定理

流形M上的光滑實值函數若無退化臨界點，則稱作莫爾斯函數。莫爾斯理論的基本結果表明，幾乎所有函數都是莫爾斯函數。技術上，莫爾斯函數形成了 $C^{2}$ 拓撲中所有光滑函數 $M\to \mathbb {R}$ 的一個開稠密子集，這有時表述為「典型的函數是莫爾斯的」或「通有的函數是莫爾斯的」。

如上述，我們感興趣的是 $M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]$ 的拓撲何時會隨着a的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，

a<b

，且

f^{-1}[a,b]

是緊的，且a、b間無臨界值。則

M^{a}

微分同胚於

M^{b}

，

M^{b}

形變收縮到

M^{a}

上。

我們還有興趣知道，a經過臨界點時 $M^{a}$ 的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。

定理. 設f是M上的光滑實值函數，p是指標為

\gamma

的f的非退化臨界點，

f(p)=q

。設

f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]

是緊的，且除了q以外不包含臨界點。則

M^{q+\varepsilon }

同倫等價於

M^{q-\varepsilon }

，並附加了一個

\gamma

-胞腔。

這些結果是對上一節所述「規則」的推廣與形式化。

用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函數的事實，可以證明微分流形是CW複形，指標為n的臨界點都附加了n-胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明，通常通過類梯度向量場重排臨界點來實現。

莫爾斯不等式

莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函數 $f:M\to \mathbb {R}$ 的指標為 $\gamma$ 的臨界點數量等於「爬升」f得到的M上CW結構中 $\gamma$ -胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群（計算同調用）的秩的交替和，用胞腔鏈群（見胞腔同調），很明顯歐拉示性數 $\chi (M)$ 等於 $\sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)$ 其中 $C^{\gamma }$ 是指標為 $\gamma$ 的臨界點數量。同樣根據胞腔同調，CW複形M的第n同調群的秩不大於M中n-胞腔的數量。於是，第 $\gamma$ 同調群的秩、即貝蒂數 $b_{\gamma }(M)$ 不大於M上莫爾斯函數的指標為 $\gamma$ 的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式： $C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).$

特別地 $\forall \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},$ 都有 $C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).$

這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函數 $f:M\to \mathbb {R}$ ，恰有k個臨界點，則f的存在以何種方式限制了M？Georges Reeb (1952)研究了 $k=2$ 情形，里布球面定理指出，M同胚於球面 $S^{n}$ 。 $k=3$ 情形只可能出現於少數低維情形，M同胚於伊爾斯–柯伊伯流形。愛德華·威滕 (1982)考慮擾動算子 $d_{t}=e^{-tf}de^{tf}$ 的德拉姆複形，提出了莫爾斯不等式的解析方法。^[1]^[2]

用於閉2-流形的分類

莫爾斯理論可用於對閉2-流形在微分同胚意義上進行分類。若M有向，則M依其虧格g分類，且與具有g柄的球面微分同胚：若 $g=0$ ，則M微分同胚於2-球面；若 $g>0$ ，則M微分同胚於g 2-環面的連通和。若N無向，則M依正數g分類，微分同胚於g個實射影空間 $\mathbf {RP} ^{2}$ 的連通和。特別地，當且僅當兩閉2-流形微分同胚時，它們同胚。^[3]^[4]

莫爾斯同調

莫爾斯同調是理解光滑流形的同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函數和黎曼度量的一般選擇來定義，基本定理是：所得的同調是流形的不變量（即與函數和度量無關），同構於流形的奇異同調；這意味着莫爾斯和奇異貝蒂數一致，並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調。

莫爾斯–博特理論

莫爾斯函數的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函數。莫爾斯–博特函數是流形上的光滑函數，其臨界集是閉子流形，它的黑塞矩陣在法向上非退化（等價地，臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間）。莫爾斯函數是臨界流形為0維時的特例（於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化，即無核）。

指標可被自然地認為是一對 $\left(i_{-},i_{+}\right),$ 其中 $i_{-}$ 是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度， $i_{+}=i_{-}+$ 臨界流形維度。若莫爾斯–博特函數在臨界軌跡（locus）上被小函數擾動，則在未擾動函數的臨界流形上，擾動函數所有臨界點的指標將介於 $i_{-}$ 、 $i_{+}$ 之間。

莫爾斯–博特函數非常有用，因為一般的摩爾斯函數不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函數通常具有對稱性。拉烏爾·博特在最初證明博特週期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。

圓形函數是莫爾斯–博特函數的例子，其中臨界集是圓（的互斥併集）。

莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函數；莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法，但由於分析上的巨大困難，這項工作從未發表。

另見

LS範疇

參考文獻

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閱讀更多

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