猴鞍面

数学中，猴鞍面（monkey saddle）是方程

z=x^{3}-3xy^{2}

定义的曲面。用圆柱坐标系也可写作

z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).

猴鞍面属于鞍面，名称来源于这样的观察：给猴子准备的鞍需要两个凹陷来放腿，一个凹陷来放尾巴。猴鞍面的原点对应 $z(x,\ y)$ 在原点的退化临界点。猴鞍面有一个孤立的脐点，原点处的高斯曲率为零，而在所有其他点的曲率都是严格负的。可通过复数将直角坐标与圆柱坐标联系起来：

z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).

将圆柱方程中的3替换为任意整数 $k\geq 1$ ，就可以得到具有k凹陷的鞍面。 ^[1]

猴鞍面的另一个方向是由 $x+y+z+xyz=0$ 定义的Smelt花瓣，因此猴鞍面的z轴对应Smelt花瓣中的 $(1,1,1)$ 方向。^[2]^[3]

马鞍面

马鞍面（horse saddle）指 $z(x,\ y)$ 在x-y平面的每个方向上都有一个鞍点、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每个方向上都有静止的拐点。

^ Peckham, S.D. (2011) Monkey, starfish and octopus saddles, Proceedings of Geomorphometry 2011, Redlands, CA, pp. 31-34, https://www.researchgate.net/publication/256808897_Monkey_Starfish_and_Octopus_Saddles
^ J., Rimrott, F. P. Introductory Attitude Dynamics. New York, NY: Springer New York. 1989: 26. ISBN 9781461235026. OCLC 852789976.
^ Chesser, H.; Rimrott, F.P.J. Rasmussen, H. , 编. Magnus Triangle and Smelt Petal. CANCAM '85: Proceedings, Tenth Canadian Congress of Applied Mechanics, June 2-7, 1985, the University of Western Ontario, London, Ontario, Canada. 1985.