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莫尔斯–帕莱引理

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数学中,莫尔斯–帕莱引理(Morse–Palais lemma)是变分法希尔伯特空间理论中的一个结果。粗略地讲,它指出临界点附近足够光滑函数在适当改变坐标后可表为二次型。 莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家马斯顿·莫尔斯利用格拉姆-施密特正交化在有限维情形证明的。这一结论在莫尔斯理论中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于理查德·帕莱斯蒂芬·斯梅尔

陈述

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为实希尔伯特空间,并令UH中原点的开邻域。令-次连续可微函数,其中,即。设,0是f的非退化临界点,即二阶导确定了H与其连续对偶空间同构

则在U中存在0的子邻域V微分同胚映射,逆也是)、可逆对称算子使得

推论

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,使得0是非退化临界点。则存在逆为微分同胚映射、正交分解 使得若有

另见

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参考文献

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  • Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison–Wesley Publishing Co., Inc. 1972.