微分

  提示：此条目页的主题不是微分学。

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

微分在数学中的定义：由$y$是$x$的函数($y=f(x)$)。从简单的平面直角坐标系来看，自变量$x$的变化量趋近于0时(${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$)，因变量$y$的变化量也趋近于0，但$x$和$y$的变化量都趋近于0。当$x$有极小的变化量时，这称为$x$的微分。

当某些函数$\textstyle f$的自变量$\textstyle x$有一个微小的改变$\textstyle h$时，函数的变化可以分解为两个部分。

一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量$\textstyle h$，可以表示成$\textstyle h$和一个与$\textstyle h$无关，只与函数$\textstyle f$及$\textstyle x$有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在$\textstyle h$上的值。

另一部分是比$\textstyle h$更高阶的无穷小，也就是说除以$\textstyle h$后仍然会趋于零。当改变量$\textstyle h$很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在$\textstyle x$处的微分，记作$\displaystyle f'(x)h$或$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)$。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量$\textstyle h$映射到变化量的线性部分的线性映射$\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}$。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定义

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量${\textrm {d}}y$，而${\textrm {d}}y$加上灰线部分后是实际的改变量$\Delta y$

设函数$y=f(x)$在某区间${\mathcal {I}}$内有定义。对于${\mathcal {I}}$内一点$x_{0}$，当$x_{0}$变动到附近的$x_{0}+\Delta x$（也在此区间内）时，如果函数的增量$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$可表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$（其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数），而$o(\Delta x)$是比$\Delta x$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_{0}$是可微的，且$A\Delta x$称作函数在点$x_{0}$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作${\textrm {d}}y$，即${\textrm {d}}y=A\Delta x$，${\textrm {d}}y$是$\Delta y$的线性主部。

通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记作${\textrm {d}}x$，即${\textrm {d}}x=\Delta x$。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分${\textrm {d}}x$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数$y=f(x)$的微分又可记作${\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x$。

几何意义

设$\Delta x$是曲线$y=f(x)$上的点$P$在横坐标上的增量，$\Delta y$是曲线在点$P$对应$\Delta x$在纵坐标上的增量，${\textrm {d}}y$是曲线在点$P$的切线对应$\Delta x$在纵坐标上的增量。当$\left|\Delta x\right|$很小时，$\left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|$比$\left|\Delta x\right|$要小得多(高阶无穷小)，因此在点$P$附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数$f:x\mapsto x^{2}$，考虑它从某一点$x$变到$x+{\textrm {d}}x$。这时，函数的改变量$f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)$等于：

$f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}$

$=2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)$

其中的线性主部：$Adx=2xdx$，高阶无穷小是$o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}$。 因此函数$\textstyle f$在点$\textstyle x$处的微分是${\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x$。函数的微分与自变量的微分之商${\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)$，等于函数的导数。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}$，尤其$y=ax^{n}$

$=nax^{(n-1)}$

以下有一例子： 當方程式為$y=2x^{2}$時，就會有以下的微分過程。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

$={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}$

$=2\cdot 2x^{(2-1)}$

$=4x$

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数$u$、$v$可微，那么：

• $\mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v$
• $d(uv)=udv+vdu$
• $d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}$
• 若函数$y(u)$可导，那么$d[y(u)]=y'(u)du$

极值

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多元函数微分

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当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定义

设$f$是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集$\Omega$射到R^m的一个函数。对于$\Omega$中的一点$x$及其在$\Omega$中的邻域$\Lambda$中的点$x+h$。如果存在线性映射$A$使得对任意这样的$x+h$,

$\lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0$

那么称函数$f$在点$x$处可微。线性映射$A$叫做$f$在点$x$处的微分，记作${\textrm {d}}f_{x}$。

如果$f$在点$x$处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点$x$都有微分${\textrm {d}}f_{x}$时，可以考虑将$x$映射到${\textrm {d}}f_{x}$的函数：

${\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}$

这个函数一般称为微分函数。

性质

• 如果$f$是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设$f$是从Rⁿ射到R^m的函数，$f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})$，那么：

${\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$。

具体来说，对于一个改变量：$h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}$，微分值：

${\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}$

• 可微的必要条件：如果函数$f$在一点$x_{0}$处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$都存在，但反之不真。
• 可微的充分条件：如果函数$f$在一点$x_{0}$的雅克比矩阵的每一个元素${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$都在$x_{0}$连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

例子

函数$f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)$是一个从$\mathbb {R} ^{2}$射到$\mathbb {R} ^{3}$的函数。它在某一点$(x,y)$的雅可比矩阵为：

$J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}$

微分为：${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)$，也就是：

${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}$

微分与微分形式

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如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点$x$给出一个近似描述函数性质的线性映射${\textrm {d}}f_{x}$，而微分形式对区域$\mathbf {D}$内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：$\omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R}$。在坐标记法下，可以写成：

$\omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$

其中的${\textrm {d}}x^{i}$是$i$-射影算子，也就是说将一个向量$v$射到它的第$i$个分量$v^{i}$的映射。而${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$是满足：

${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}$

的k-形式。

特别地，当$f$是一个从Rⁿ射到R 的函数时，可以将${\textrm {d}}f_{x}$写作：

${\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}$

正是上面公式的一个特例。

参见

• 微分学
• 微积分
• 导数
• 积分
• 偏导数
• 外微分
• 泰勒公式

参考来源

• 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.