数学上,曲面积分,也称为面积分(英語:Surface integral),是在曲面上的定积分(曲面可以是空间中的弯曲子集);它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面,可以在上面对标量场(也就是實数值的函数)进行积分,也可以对向量场(也就是向量值的函数)积分。
面积分在物理中有大量应用,特别是在电磁学的經典物理學中。
面积分的定义依赖于将曲面细分成小的面积元。
单个面积元的图示。这些面积元通过极限过程成为无穷小的元素以逼近曲面。
考虑定义在曲面S上的實函數
,计算面积分的一个办法是将曲面分割成很多小片,假设函數
在每小片的變化不大,且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大,任意取每片中函數
的值,然后乘以小片的近似面积,最后全部加起来得到一個值,當這種分割越來越細時,如果這值趨近一個實數,我們稱這个實數為實數值函數
在曲面
上的面積分。
要找到面积分的直接公式,首先需要参数化曲面S,也即在S上建立坐标系,就像球面上的经纬度。令参数化为x(s, t),其中(s, t)在某个平面上的区域T中变化。则
在曲面
的面积分为
![{\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8bfe4c9dc1a2351c4b2bf360b298db7c395ebc)
其中
是x(s, t)的偏导数的外積這向量的長度,而
在微分幾何裡又叫作流形
的面積元素(Surface element)。
例如,如果要找出某个函数(
)形状的曲面面积,就有
![{\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2601bdae45f00ddaf3eb0dd495858b1900713ae1)
其中
。所以,
,且
。因此
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ce6554362c66ec8a85ea7333b3e7fa9fe72e28)
这就是一般以
為參數的曲面其面积的標準公式。很容易认出第二行中的向量是曲面的法向量。
注意,因为外积的存在,這裡的公式只在曲面嵌入在三维空间中时适用。
曲面上的向量场。
考虑S上的向量场v,对于每个S上的点x,v(x)是一个向量。想象一个穿过S的液体流,使得v(x)决定液体在x的速度。则流量定义为单位时间穿过S的液体量。
这个解释意味着如果向量场和S在每点相切,则流量为0,因为液体平行于S流动,从而不进不出。这也意味着如果v不仅仅沿着S流动,也即,如果v既有切向分量也有法向分量,则只有法向分量对流量作出贡献。基于这个推理,要找出流量,我们必须取v和S上每点的单位法向量的点积,这就给出了一个标量场,然后就可以用上述方式积分。公式如下
![{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,\mathrm {d} S=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1145a6e8932fc1ec8ccc004911cc323285d0a3)
右手边的叉积是由参数化所决定的法向量。
该公式定义为向量场v在S上的面积分。
令
![{\displaystyle \omega =f_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+f_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ea4e6f2f45e776fbecd08322c262d4a6be1713)
为定义在曲面S上的2阶微分形式,并令
![{\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9386118f2be1a1ebfbbb350640413e36d3475e)
为一保定向的在曲面
上的参数化,其中
。利用變數變換,则
在S上的面积分變成
![{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}+f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519109d412393406f055858751dd82aa18e7ee60)
其中
![{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7fb90863abfba28da1b8bba9b85fec05447b85)
为S的法向量。利用微分形式(2-form)的變數變換,我們有
![{\displaystyle \int _{S}\omega =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060fdaa0eeb0ca33df7e71c1407fa78241e9a193)
也就是說,對
該2-形式的积分和以
、
和
为分量的向量场的面积分相同。
面积分中很多有用的结果可以用微分几何和向量微积分导出,例如散度定理及其推广斯托克斯定理。
注意面积分的定义中用到曲面S的参数化。而给定曲面可以有多种参数化。例如,如果移动球面上南极和北极的位置,所有球面上的点的经度和纬度都会改变。很自然就有面积分是否依赖于给定参数化的问题。对于标量场的积分,答案很简单:无论参数化为何,面积分不变。
对于向量场,情况复杂一些,因为積分時涉及到曲面的法向量。如果两个参数化下法向量的定向相同,则积分值不变。如果法向量定向相反,则积分值相反。因此,不需要規定特定的参数化,但是对于法向量,不同的参数化的定向必须保持一致。
另外一个问题是,有时曲面没有覆盖整个曲面的单一参数化;譬如对于有限长的圆柱面就是这样。一个直接的解决办法就是将曲面切成几片,在每一片上求面积分,然后加起来。这就是正确的办法,但是对向量场积分的时候,必须小心,要让每个小片的法向量定向和周围的一致。对于柱面来讲,也就是让所有片的法向量向外指。
最后一个问题是,有些曲面没有一个一致的法向量(譬如莫比乌斯带)。对于这样的曲面,无法找到一致的定向。这样的曲面称为不可定向的,在其上无法进行向量场的积分。
- Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905