數學上,曲面積分,也稱為面積分(英語:Surface integral),是在曲面上的定積分(曲面可以是空間中的彎曲子集);它可以視為和線積分相似的雙重積分。給定一個曲面,可以在上面對純量場(也就是實數值的函數)進行積分,也可以對向量場(也就是向量值的函數)積分。
面積分在物理中有大量應用,特別是在電磁學的經典物理學中。
面積分的定義依賴於將曲面細分成小的面積元。
單個面積元的圖示。這些面積元通過極限過程成為無窮小的元素以逼近曲面。
考慮定義在曲面S上的實函數
,計算面積分的一個辦法是將曲面分割成很多小片,假設函數
在每小片的變化不大,且每個小片的近似計算的面積跟實際面積誤差不大,任意取每片中函數
的值,然後乘以小片的近似面積,最後全部加起來得到一個值,當這種分割越來越細時,如果這值趨近一個實數,我們稱這個實數為實數值函數
在曲面
上的面積分。
要找到面積分的直接公式,首先需要參數化曲面S,也即在S上建立坐標系,就像球面上的經緯度。令參數化為x(s, t),其中(s, t)在某個平面上的區域T中變化。則
在曲面
的面積分為
![{\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}\right|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8bfe4c9dc1a2351c4b2bf360b298db7c395ebc)
其中
是x(s, t)的偏導數的外積這向量的長度,而
在微分幾何裡又叫作流形
的面積元素(Surface element)。
例如,如果要找出某個函數(
)形狀的曲面面積,就有
![{\displaystyle A=\iint _{S}\,\mathrm {d} S=\iint _{T}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}\right|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2601bdae45f00ddaf3eb0dd495858b1900713ae1)
其中
。所以,
,且
。因此
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ce6554362c66ec8a85ea7333b3e7fa9fe72e28)
這就是一般以
為參數的曲面其面積的標準公式。很容易認出第二行中的向量是曲面的法向量。
注意,因為外積的存在,這裡的公式只在曲面嵌入在三維空間中時適用。
曲面上的向量場。
考慮S上的向量場v,對於每個S上的點x,v(x)是一個向量。想像一個穿過S的液體流,使得v(x)決定液體在x的速度。則流量定義為單位時間穿過S的液體量。
這個解釋意味著如果向量場和S在每點相切,則流量為0,因為液體平行於S流動,從而不進不出。這也意味著如果v不僅僅沿著S流動,也即,如果v既有切向分量也有法向分量,則只有法向分量對流量作出貢獻。基於這個推理,要找出流量,我們必須取v和S上每點的單位法向量的點積,這就給出了一個純量場,然後就可以用上述方式積分。公式如下
![{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,\mathrm {d} S=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1145a6e8932fc1ec8ccc004911cc323285d0a3)
右手邊的叉積是由參數化所決定的法向量。
該公式定義為向量場v在S上的面積分。
令
![{\displaystyle \omega =f_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+f_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+f_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ea4e6f2f45e776fbecd08322c262d4a6be1713)
為定義在曲面S上的2階微分形式,並令
![{\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9386118f2be1a1ebfbbb350640413e36d3475e)
為一保定向的在曲面
上的參數化,其中
。利用變數變換,則
在S上的面積分變成
![{\displaystyle \iint _{D}\left[f_{x}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}}+f_{y}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}}+f_{z}(\mathbf {x} (s,t)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right]\,\mathrm {d} s\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519109d412393406f055858751dd82aa18e7ee60)
其中
![{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t))}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7fb90863abfba28da1b8bba9b85fec05447b85)
為S的法向量。利用微分形式(2-form)的變數變換,我們有
![{\displaystyle \int _{S}\omega =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}(f_{x},f_{y},f_{z})\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060fdaa0eeb0ca33df7e71c1407fa78241e9a193)
也就是說,對
該2-形式的積分和以
、
和
為分量的向量場的面積分相同。
面積分中很多有用的結果可以用微分幾何和向量微積分導出,例如散度定理及其推廣斯托克斯定理。
注意面積分的定義中用到曲面S的參數化。而給定曲面可以有多種參數化。例如,如果移動球面上南極和北極的位置,所有球面上的點的經度和緯度都會改變。很自然就有面積分是否依賴於給定參數化的問題。對於純量場的積分,答案很簡單:無論參數化為何,面積分不變。
對於向量場,情況複雜一些,因為積分時涉及到曲面的法向量。如果兩個參數化下法向量的定向相同,則積分值不變。如果法向量定向相反,則積分值相反。因此,不需要規定特定的參數化,但是對於法向量,不同的參數化的定向必須保持一致。
另外一個問題是,有時曲面沒有覆蓋整個曲面的單一參數化;譬如對於有限長的圓柱面就是這樣。一個直接的解決辦法就是將曲面切成幾片,在每一片上求面積分,然後加起來。這就是正確的辦法,但是對向量場積分的時候,必須小心,要讓每個小片的法向量定向和周圍的一致。對於柱面來講,也就是讓所有片的法向量向外指。
最後一個問題是,有些曲面沒有一個一致的法向量(譬如莫比烏斯帶)。對於這樣的曲面,無法找到一致的定向。這樣的曲面稱為不可定向的,在其上無法進行向量場的積分。
- Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905