X²+1素数

x²+1素数问题是一个未解决的数学问题，其陈述如下：是否存在无穷个正整数x，使得x²+1为素数？

这个问题得到许多数论学者的关注，有学者认为这个问题比孪生素数猜想更加困难，因为在正整数中，x²+1的数比p+2稀少，故x²+1为素数的概率更小。

10000以内的x²+1素数为（ A002496）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

历史

在1912年的国际数学家大会上，爱德蒙·兰道就素数理论的发展和黎曼ζ函数作演说，当中他提及的四个关于素数的问题是“以目前的科学状况无法攻克”的，其中的第四个问题便是：“函数u²+1在u取整数值时是否给出了无穷多个素数？”

推论

一般地说，设f(x)=ax^2+bx+c为整系数二次函数可以证明，若f(x)能取无穷多次的素数值，那么a, b, c须符合以下条件：

1. a, b, c的最大公约数为1
2. a+b和c不能都是偶数
3. b²-4ac不是完全平方数

一个广义化的猜想便是，若a为正数且a, b, c符合上述3个条件，那么f(x)便能取无穷多次的素数值（见布尼亚科夫斯基猜想）。

进展

1923年，英国数学家哈代和李特尔伍德猜测：

$\#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}$

根据弗里德兰德-伊万涅茨定理，存在无穷多个形如$a^{2}+b^{4}$的素数。

在1978年，亨里克·伊万涅茨证明了存在无穷多个x，使得$x^{2}+1$至多是两个素数的积。

参考文献

• Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq² + 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
• Problems & Puzzles: Conjectures, Conjecture 5: Are there infinitely many primes of the form n²+1?. primepuzzles.net. [2012-04-20]. （原始内容存档于2018-10-19）. 
• Stephan Baier, Liangyi Zhao. ON PRIMES REPRESENTED BY QUADRATIC POLYNOMIALS (PDF). Anatomy of Integers, CRM Proc. & Lecture Notes: 166 – 169. 

参见

• 素数判定法则
• 兰道问题
• 布尼亚科夫斯基猜想
• 欣策尔假设H