X²+1素數 - 維基百科，自由的百科全書

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x²+1素數問題是一個未解決的數學問題，其陳述如下：是否存在無窮個正整數x，使得x²+1為素數？

這個問題得到許多數論學者的關注，有學者認為這個問題比孿生素數猜想更加困難，因為在正整數中，x²+1的數比p+2稀少，故x²+1為素數的概率更小。^[1]

10000以內的x²+1素數為（ A002496）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

歷史

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在1912年的國際數學家大會上，愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提及的四個關於素數的問題是「以目前的科學狀況無法攻克」的，其中的第四個問題便是：「函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？」^[2]

推論

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一般地說，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：

a, b, c的最大公約數為1
a+b和c不能都是偶數
b²-4ac不是完全平方數

一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亞科夫斯基猜想）。^[3]

進展

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1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測^[2]：

\#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}

根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理（英語：Friedlander–Iwaniec theorem），存在無窮多個形如 $a^{2}+b^{4}$ 的質數。

在1978年，亨里克·伊萬涅茨（英語：Henryk Iwaniec）證明了存在無窮多個x，使得 $x^{2}+1$ 至多是兩個質數的積。

註釋

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^ 「10000個科學難題」數學編委會編. 10000个科学难题（数学卷）. 科學出版社. 2009: 102 [2014-10-25]. ISBN 9787030242679. （原始內容存檔於2016-03-07）.
^ ^2.0 ^2.1 János Pintz. LANDAU'S PROBLEMS ON PRIMES (PDF). [2014-10-25]. （原始內容存檔 (PDF)於2013-10-30）.
^ 《數學辭海》編輯委員會編. 數學辭海（第六卷）. 山西教育出版社、中國科學技術出版社、東南大學出版社. 2002: 660 [2014-10-25]. ISBN 9787544024013. （原始內容存檔於2014-10-25）.

參考文獻

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Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq² + 1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
Problems & Puzzles: Conjectures, Conjecture 5: Are there infinitely many primes of the form n²+1?. primepuzzles.net. [2012-04-20]. （原始內容存檔於2018-10-19）.
Stephan Baier, Liangyi Zhao. ON PRIMES REPRESENTED BY QUADRATIC POLYNOMIALS (PDF). Anatomy of Integers, CRM Proc. & Lecture Notes: 166 – 169. ^{[永久失效連結]}

參見

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閱論編質數類
公式	卡羅爾（ $（2 n －1） 2 －2$ ）費馬質數（ $2 2 n ＋1$ ）梅森質數（ $2 p －1$ ）雙重梅森質數（ $2 2 p －1 －1$ ）瓦格斯塔夫質數 $（2 p ＋1）／3$ 普羅斯質數（ $k \cdot2 n ＋1$ ）階乘質數（ $n ！\pm1$ ）質數階乘質數（ $p n ＃\pm1$ ）歐幾里得數（ $p n ＃＋1$ ）畢達哥拉斯質數（ $4 n ＋1$ ）皮爾龐特質數（ $2 m \cdot3 n ＋1$ ） Quartan質數（ $x 4 ＋ y 4$ ）（英語：Quartan prime）索利納斯質數（ $2 m \pm2 n \pm1$ ）（英語：Solinas prime）卡倫質數（ $n \cdot2 n ＋1$ ）胡道爾質數（ $n \cdot2 n －1$ ）立方質數（ $x 3 － y 3 ）／（ x － y$ ）萊蘭質數（ $x y ＋ y x$ ）塔別脫質數（ $3\cdot2 n －1$ ）威廉斯質數（ $（ b -1）\cdot b n －1$ ）（英語：Williams number）米爾斯質數（［ $A 3 n$ ］） Kynea質數（ $（2 n ＋1） 2 －2$ ）
整數數列	費波納契質數盧卡斯質數佩爾質數 NSW質數佩蘭偽質數
屬性	維費里希質數質數對（英語：Wieferich pair）沃爾-孫-孫質數沃爾斯滕霍爾姆質數（英語：Wolstenholme prime）威爾遜質數幸運質數 Fortunate質數（英語：Fortunate number）拉馬努金質數皮萊質數正則質數強質數斯特恩質數超奇異質數（橢圓曲線）（英語：Supersingular prime (algebraic number theory)）超奇異質數（月光理論）好質數超質數希格斯質數高互補歐拉商數唯一質數
基數相關	迴文質數反質數循環單位質數 $（10 n －1）／9$ 可交換質數環狀質數可截短質數極小質數精緻質數（英語：Delicate prime）原始質數全循環質數唯一質數快樂質數自我質數 Smarandache–Wellin質數 Strobogrammatic質數（英語：Strobogrammatic prime）二面質數四面質數（英語：Tetradic number）
圖形	孿生質數（ $p ， p ＋2$ ）孿生倍鏈（ $n \pm 1，2 n \pm 1，4 n \pm 1，\dots$ ）（英語：Bi-twin chain）三胞胎質數（ $p ， p ＋2 或 p ＋4， p ＋6$ ）四胞胎質數（ $p ， p ＋2， p ＋6， p ＋8$ ）質數k元組（英語：Prime k-tuple）表兄弟質數（ $p ， p ＋4$ ）六質數（ $p ， p ＋6$ ）陳質數索菲·熱爾曼／安全質數（ $p ，2 p ＋1$ ）坎寧安鏈（ $p ，2 p \pm 1，4 p \pm 3，8 p \pm 7，...$ ）（英語：Cunningham chain）等差數列（ $p ＋ a\cdotn ， n ＝0，1，2，3，...$ ）（英語：Primes in arithmetic progression）平衡質數（ $連續的 p － n ， p ， p ＋ n$ ）
數量級	超大質數（1,000,000+以上）（英語：Megaprime）已知最大質數列表（英語：List of largest known primes and probable primes）
複數	艾森斯坦質數高斯質數
合數	偽質數卡塔蘭（英語：Catalan pseudoprime）橢圓（英語：Elliptic pseudoprime）歐拉歐拉-雅可比費馬弗羅貝尼烏斯（英語：Frobenius pseudoprime）盧卡斯（英語：Lucas pseudoprime）佩蘭索默爾–盧卡斯（英語：Somer–Lucas pseudoprime）強卡邁克爾數殆質數半質數楔形數 Interprime 有害數（英語：Pernicious number）
相關	準質數（英語：Probable prime）產業等級質數非法質數質數公式質數間隙 $X 2 ＋1$ 質數質數定理質數計算函數質數測試
前60個質數	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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