佩尔数

佩尔数是一个自古以来就知道的整数数列，由递推关系定义，与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长，增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算術平方根的近似值以及三角平方数的定义中，也出现在一些组合数学的问题中。

定义

佩尔数由以下的递推关系定义：

$P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

也就是说，佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数。最初几个佩尔数是：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。

佩尔数也可以用通项公式来定义：

$P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.$

对于较大的n，$\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}$的项起主要作用，而$\scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}$的项则变得微乎其微。因此佩尔数大约与白银比$\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})$的幂成正比。

第三种定义是以下的矩阵公式：

${\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.$

从这些定义中，可以推出或证明许多恒等式；例如以下的恒等式，与斐波那契数的卡西尼恒等式类似：

$P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},$

这个恒等式是以上矩阵公式的直接结果（考虑矩阵的行列式）。

2的算術平方根的近似值

佩尔数出现在2的算術平方根的有理数近似值中。如果两个大的整数x和y 是佩尔方程的解：

$\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,$

那么它们的比${\tfrac {x}{y}}$就是$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的一个较精确的近似值。这种形式的近似值的数列是：

$1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots$

其中每一个分数的分母是佩尔数，分子则是这个数与前一个佩尔数的和。也就是说，佩尔方程的解具有${\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$的形式。${\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}$是这些近似值中的第八个，在公元前3或4世纪就已经为印度数学家所知。公元前5世纪的古希腊数学家也知道这个近似值的数列；他们把这个数列的分母和分子称为“边长和直径数”，分子也称为“有理对角线”或“有理直径”。

这些近似值可以从$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的连分数展开式推出：

${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.$

取这个展开式的有限个项，便可以产生$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的一个近似值，例如：

${\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.$

素数和平方数

佩尔素数是既是佩尔数又是素数的数。最初几个佩尔素数是：

2, 5, 29, 5741, …… （OEIS數列A086383）。

与斐波那契素数相似，仅当n本身是素数时$P_{n}$才有可能是素数。

唯一的既是佩尔数又是平方数、立方数或任意整数次方的数是0, 1, 以及169 = 13²。

然而，佩尔数与三角平方数有密切的关系。它们出现在以下佩尔数的恒等式中：

${\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.$

等式的左面是平方数，等式的右面是三角形数，因此是三角平方数。

Santana和Diaz-Barrero在2006年证明了佩尔数与平方数之间的另外一个恒等式，并证明了从$P_{1}$到$P_{4n+1}$的所有佩尔数的和总是平方数：

$\sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.$

例如，从$P_{1}$到$P_{5}$的和是$0+1+2+5+12+29=49$，是$P_{2}+P_{3}=2+5=7$的平方。$P_{2n}+P_{2n+1}$就是这个和的平方根：

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS數列A002315）。

勾股数

边长为整数的直角三角形，其直角边几乎相等，由佩尔数引出。

如果一个直角三角形的边长为a、b和c（必须满足勾股定理a²+b²=c²），那么(a,b,c)称为勾股数。Martin在1875年描述，佩尔数可以用来产生勾股数，其中a和b相差一个单位。这个勾股数具有以下形式：

$(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).$

用这种方法产生的勾股数的序列是：

(3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……

佩尔-卢卡斯数

佩尔-卢卡斯数由以下的递推关系定义：

$Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

也就是说，数列中的最初两个数都是2，后面每一个数都是前一个数的两倍加上再前面的一个数。这个数列的最初几个项是（OEIS數列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩尔-卢卡斯数的通项公式为：

$Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.$

这些数都是偶数，每一个数都是以上$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的近似值中的分子的两倍。

参考文献

• Bicknell, Marjorie. A primer on the Pell sequence and related sequences. Fibonacci Quarterly. 1975, 13 (4): 345–349. MR0387173. 
• Cohn, J. H. E. Perfect Pell powers. Glasgow Mathematical Journal. 1996, 38 (1): 19–20. MR1373953. 
• Dutka, Jacques. On square roots and their representations. Archive for History of Exact Sciences. 1986, 36 (1): 21–39. doi:10.1007/BF00357439. MR0863340. 
• Ercolano, Joseph. Matrix generators of Pell sequences. Fibonacci Quarterly. 1979, 17 (1): 71–77. MR0525602. 
• Filep, László. Pythagorean side and diagonal numbers (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis. 1999, 15: 1–7 [2008-09-18]. （原始内容 (PDF)存档于2020-07-06）. 
• Horadam, A. F. Pell identities. Fibonacci Quarterly. 1971, 9 (3): 245–252, 263. MR0308029. 
• Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. The linear algebra of the Pell matrix. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 2005, 11 (2): 163–174. MR2207722. 
• Knorr, Wilbur. Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation. Archive for History of Exact Sciences. 1976, 15 (2): 115–140. doi:10.1007/BF00348496. MR0497462. 
• Knorr, Wilbur. "Rational diameters" and the discovery of incommensurability. American Mathematical Monthly. 1998, 105 (5): 421–429. doi:10.2307/3109803. 
• Knuth, Donald E. Leaper graphs. The Mathematical Gazette. 1994, 78: 274–297. doi:10.2307/3620202. . 
• Martin, Artemas. Rational right angled triangles nearly isosceles. The Analyst. 1875, 3 (2): 47–50 [2008-09-18]. doi:10.2307/2635906. （原始内容存档于2022-05-25）. 
• Pethő, A. The Pell sequence contains only trivial perfect powers. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland: 561–568. 1992. MR1218218. 
• Ridenhour, J. R. Ladder approximations of irrational numbers. Mathematics Magazine. 1986, 59 (2): 95–105 [2008-09-18]. （原始内容存档于2019-09-29）. 
• Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. Some properties of sums involving Pell numbers (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2006, 18 (1) [2008-09-18]. （原始内容 (PDF)存档于2007-05-08）. 
• Sellers, James A. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers (PDF). Journal of Integer Sequences. 2002, 5 [2008-09-18]. MR1919941. （原始内容 (PDF)存档于2020-07-05）. 
• Sesskin, Sam. A "converse" to Fermat's last theorem?. Mathematics Magazine. 1962, 35 (4): 215–217. 
• Thibaut, George. On the Súlvasútras. Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. 1875, 44: 227–275. 
• Thompson, D'Arcy Wentworth. III.—Excess and defect: or the little more and the little less. Mind: New Series. 1929, 38 (149): 43–55 [2008-09-18]. （原始内容存档于2019-10-13）. 
• Vedova, G. C. Notes on Theon of Smyrna. American Mathematical Monthly. 1951, 58 (10): 675–683. doi:10.2307/2307978. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Pell Number. MathWorld.