非線性偏微分方程式

非線性偏微分方程式是具有非線性項的偏微分方程式。起源於各種應用科學中，如固體力學、流體力學、聲學、非線性光學、電漿體物理學、量子場論等學科。它們描述了許多不同的物理系統，並被用於解決數學問題，如龐加萊猜想和卡拉比猜想。它們很難研究：幾乎沒有通用的技術可以用於所有這樣的方程式，通常每個單獨的方程式都必須作為一個單獨的問題進行研究。通常，線性和非線性偏微分方程式的區別是基於定義偏微分方程式本身的算子的屬性。

函數關係 F(,x_1,X_2..x_n,u,u_x1,u_x2..u_xn,u_x1x2,u_x1x3...)=0 是一個廣義的偏微分方程式，如果 u，v 是此微分方程式的兩個解，而（au+bv) 也是此微分方程式的解，則此偏微分方程式稱為線性偏微分方程式，否則稱為非線性偏微分方程式。^[1]

常見的非線性偏微分方程式

Equation	中文	方程式
BBM	班傑明-小野方程式	: $u_{t}+u_{x}+uu_{x}-u_{xxt}=0.\,$
Belousov-Zhabotinsky	別洛烏索夫-扎伯廷斯基方程式	$u_{t}=du_{xx}+u(1-ru-u)$ , $v_{t}=v_{xx}-su*v$
(Benjamin-Ono equation	班傑明-小野方程式	$u_{tt}+\alpha (u^{2})_{xx}-\beta u_{xxxx}=0$
Bogoyavlenski-Konoplechenko	波格雅夫連斯基-科譳普勒琛科方程式	$u_{xt}+\alpha u_{xxxx}+\beta u_{xxxy}$ $+6\alpha u_{xx}u_{x}+4\beta u_{xy}u_{x}+\beta u_{xx}u_{y}=0$
Born-Infeld	玻恩-英費爾德方程式	$\displaystyle (1-u_{t}^{2})u_{xx}+2u_{x}u_{t}u_{xt}-(1+u_{x}^{2})u_{tt}=0$
Boussinesq	博欣內斯克方程式	${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u^{2}}{\partial ^{2}y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}}=0$
Boussinesa type	博欣內斯克型方程式	$u_{tt}-u_{xx}-2\alpha (uu_{x})_{x}-\beta u_{xxtt}=0$
Unnormalized Boussinesq	非規範博欣內斯克方程式	$u_{tt}-\alpha (uu_{x})_{x}-\beta *u_{xxxx}=0$
Broer-Kaup	布羅爾-庫普方程組	$u_{y,t}+(2uu_{x})_{x}+2v_{xx}-u_{xxy}=0$ $v_{t}+2(vu)_{x}+v_{xx}=0$
Burgers	伯格斯方程式	${\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+u(x,t){\frac {\partial (u(x,t)}{\partial x}}-nu{\frac {\partial ^{2}(u(x,t)}{\partial x^{2}}}=0$
Burgers-Fisher	伯格斯-費雪方程式	: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+u^{2}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial u^{2}}}=u(1-u^{2})$
Modified Burgers	變形伯格斯方程式	$u_{t}+{\frac {k}{t}}u+buu_{x}=au_{xx}$
Unnormalized Burgers	非規範伯格斯方程式	$u_{t}-\alpha u_{xx}-\beta u*u_{x}=0$
Generalized Burgers	廣義伯格斯方程式
Burgers-Huxley	伯格斯-赫胥黎方程式	$u[t]-nuu[x,x]+auu[x]=bu(1-u)(u-c)$
Bretherton	布雷瑟頓方程式	$u_{tt}+u_{xx}+u_{xxxx}-\alpha *u^{3}=0$
Cahn-Hilliard	卡恩-希利亞德方程式
Cassama-Holm	卡馬薩-霍爾姆方程式	: $u_{t}+2\kappa u_{x}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}$
Chaffee-Infante	查菲 - 堙方特方程式	$u_{t}-u_{xx}+\lambda *(u^{3}-u)=0$
Chaplygin	查普里金方程式	$0.5u_{tt}+u_{x}u_{xt}-u_{t}*u_{xx}=0$
Davey–Stewartson	戴維-斯圖爾森方程組	: $iu_{t}+c_{0}u_{xx}+u_{yy}=c_{1}\|u\|^{2}u+c_{2}u\phi _{x},\,$ $\phi _{xx}+c_{3}\phi _{yy}=(\|u\|^{2})_{x}.\,$
Degasperis-Procesi	DP 方程式	$\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}$
Drinfeld-Solokov-Wilson	DSW 方程式	${\frac {\partial u}{\partial t}}+3v{\frac {\partial v}{\partial x}}=0$ ${\frac {\partial v}{\partial t}}-2{\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}v+2u*{\frac {\partial v}{\partial x}}$
Dodd-Bullough-Mikhailov	多德-布洛-米哈伊洛夫方程式	[[ $u_{xt}+\alpha e^{u}+\gamma e^{-2*u}=0$
Nonlinear Diffusion	非線性擴散方程式	$u_{t}=\alpha u_{xx}-\beta u^{3}-\gamma *u^{2}$
Harry Dym	迪姆方程式	: $u_{t}=u^{3}u_{xxx}.\,$
Eckhaus	艾克豪斯方程式	$u(x,y,t)_{t}+v(x,t)_{x}+1.0u(x,y,t)(u(x,y,t)_{x})=0$ $v(x,t)_{xt}+u(x,y,t)_{xx}v(x,t)+$ $2u(x,y,t)_{x}v(x,t)_{x}+u(x,y,t)(v(x,t)_{xx}+$ $u(x,y,t)_{xx}+u(x,y,t)_{xxxx}+u(x,y,t)_{yy}=0$
Eikonal	程函方程式	$sys:=(u(x,t)_{t}))^{2}+(u(x,t)_{x})^{2}-4=0$
Estevez-Mansfield-Clarkson	埃斯特韋斯-曼斯菲爾德-克拉克森方程式	$u_{tyyy}+\beta u_{y}u_{yt}+\beta u_{yy}u_{t}+u_{tt}=0$
Fitzhugh-Nagumo	菲茨休 - 南雲方程式	${\frac {\partial u}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}x^{2}}}-u(1-u)*(a-u)$
Fisher	費雪方程式	$u_{t}=u_{xx}+au(1-u)$
Fisher-Kolmogorov	費雪-科摩哥洛夫方程式	:: ${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\alpha }{k}}*u(1-u^{q})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\,$
Fujita-Storm	藤田-斯托姆方程式	$u_{t}=a(u^{-2}u_{x})_{x}$
Gardner	加德納方程式	${\frac {\partial u}{\partial t}}+(2au-3bu^{2})*{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0$
Gibbons-Tsarev	吉本斯-查理夫方程式	$u_{t}u_{xt}-u_{x}u_{tt}+u_{xx}+1=0$
Ginzburg-Landau	金茲堡－朗道方程式	${\frac {\partial u}{\partial t}}-au{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-bu+c\|u\|^{2}*u=0$
Hirota Satsuma	廣田-薩摩方程組	: $u_{t}-0.5*u_{xxx}+3uu_{x}-3(vw)_{x}=0$ $v_{t}+v_{xxx}-3uv_{x}=0$ $w_{t}+w_{xxx}-3uw_{x}=0$
Hunt-Saxton	亨特 - 薩克斯頓方程式	: $(u_{t}+uu_{x})_{x}={\frac {1}{2}}\,u_{x}^{2}$
Ito	伊藤方程式	$U_{t}+((6U^{5}+10\alpha (U^{2}U_{xx}+U*U_{x}^{2})+U_{xxxx})_{x}=0$
KdV	KdV方程式	: $\partial _{t}\phi +6\phi \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0$
Modified KdV	MKdV方程式	$u_{t}+\alpha u^{2}u_{x}+u_{xxx}=0$
KdV-mKdV	KdV-mKdV方程式	$u_{t}+6\alpha uu_{x}+6\beta u^{2}u_{}+\gamma *U_{xxx}=0$
KdV-Burgers	KdV-Burgers方程式	$u_{t}+uu_{x}-\alpha u_{xx}-\beta *u_{xxx}=0$
Modified KdV-Burgers	變形KdV-Burgers方程式	$u_{t}+u_{xxx}-\alpha u^{2}u_{x}-\beta *u_{xx}=0$
Fifth order KdV	五階KdV方程式	$u_{t}+\alpha u^{2}u_{x}+\beta u_{x}u_{xx}+\gamma uu_{xxx}+\delta *u_{xxxxx}=0$
Fifth order dispersion KdV	五階色散KdV方程式	$u_{t}+\alpha uu_{x}+\beta *u_{xxx}+u_{xxxxx}=0$
Seventh order KdV	七階KdV方程式	$U[t]+6UU[x]+U[x,x,x]-U[x,x,x,x,x]+\alpha *U[x,x,x,x,x,x,x,x,x]=0$
Nineth order KdV	九階KdV方程式	$U[t]+6UU[x]+U[x,x,x]-U[x,x,x,x,x]+\alpha U[x,x,x,x,x,x,x]+\beta U[x,x,x,x,x,x,x,x,x]=0$
Unnormalized KdV equation	非規範KdV方程式	$u_{t}+\alpha u_{xxx}+\beta u*u_{x}=0$
Generalized Burgers-KdV	廣義伯格斯-KdV方程式	$U[t]-\alpha {\frac {\partial ^{n}u(x,t)}{\partial x^{n}}}-\beta u(x,t)*{\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}=0$
Unnormalized modified KdV	非規範變形KdV方程式	$u_{t}+u_{xxx}+\alpha u^{2}u_{x}=0$
von Karman	馮·卡門方程式	$\Delta \Delta (u)=a((w_{xy})^{2}-w_{xx}w_{yy})$ $\Delta \Delta (w)=b(u_{yy}w_{xx}+u_{xx}w_{yy}-2u_{xy}w_{xy})+c$

參考文獻

^ Inna Shingareva Carlos Lizarrga Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, Springer, ISBN 9783709105160

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李志斌編著《非線性數學物理方程式的行波解》科學出版社
王東明著《消去法及其應用》科學出版社 2002
*何青王麗芬編著《Maple 教程》科學出版社 2010 ISBN 9787030177445
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Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
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[1] Inna Shingareva Carlos Lizarrga Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, Springer, ISBN 9783709105160

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