拉東-尼科迪姆定理是數學中測度論里的一個結果。拉東-尼科迪姆定理說明了在給定了一個測度空間
的時候,如果測度空間
上的一個σ-有限測度
關於另一個σ-有限測度
絕對連續,那麼存在一個在
上可測的函數
,其取值範圍為非負實數(
),並且對所有的可測集合
,都有:
![{\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89508d4f8368d8d47ef131f6790a58cc9cc027d)
這個定理得名於數學家約翰·拉東以及歐頓·尼科迪姆。拉東在1913年證明了這個定理在背景空間為
時的情況;尼科迪姆則在1930年證明了定理的一般情形[1]。1936年,漢斯·弗洛伊登薩將這個定理推廣,證明了里斯空間理論中的弗洛依登薩譜定理。拉東·尼科迪姆定理是後者的一個特例。
拉東-尼科迪姆導數是 [2]
![{\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfc623556ae067ce209d42bc85a37374096ad92)
幾乎處處:![{\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e48545743ff6af2e75df401ab5a0f92d3245b61)
- 若 ν ≪ μ ≪ λ, 則
幾乎處處:![{\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b379685ae0ba6e24d6b39fd2b9b2000fbafed12)
- 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 則
幾乎處處:![{\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ccfb76e4627686ec3038e88cab9ad62d690189)
- 若 μ ≪ λ 則
![{\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec160d72a50718eef7b72f05b78c7e3be5576722)
![{\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3520eabc052c1a5e71d7e07329cfe77a4be9925f)
參考來源[編輯]