拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间
的时候,如果测度空间
上的一个σ-有限测度
关于另一个σ-有限测度
绝对连续,那么存在一个在
上可测的函数
,其取值范围为非负实数(
),并且对所有的可测集合
,都有:
![{\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89508d4f8368d8d47ef131f6790a58cc9cc027d)
这个定理得名于数学家约翰·拉东以及欧顿·尼科迪姆。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为
时的情况;尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形[1]。1936年,汉斯·弗洛伊登萨将这个定理推广,证明了里斯空间理论中的弗洛依登萨谱定理。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。
拉东-尼科迪姆导数是 [2]
![{\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfc623556ae067ce209d42bc85a37374096ad92)
几乎处处:![{\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e48545743ff6af2e75df401ab5a0f92d3245b61)
- 若 ν ≪ μ ≪ λ, 则
几乎处处:![{\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b379685ae0ba6e24d6b39fd2b9b2000fbafed12)
- 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 则
几乎处处:![{\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ccfb76e4627686ec3038e88cab9ad62d690189)
- 若 μ ≪ λ 则
![{\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec160d72a50718eef7b72f05b78c7e3be5576722)
![{\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3520eabc052c1a5e71d7e07329cfe77a4be9925f)
参考来源[编辑]