四維動量

狹義相對論和廣義相對論中，四維動量（英文：four-momentum）是古典的三維動量在四維時空中的相對論化形式。動量是三維空間中的向量，而類似地四維動量是時空中的四維向量。引入四維動量的原因是它在勞侖茲變換下是協變性的。對於一個具有三維動量${\vec {p}}=(p_{x},p_{y},p_{z})$和能量$E$的粒子，其逆變四維動量表示為

$\mathbf {P} \equiv P^{\alpha }={\begin{pmatrix}P^{0}\\P^{1}\\P^{2}\\P^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}$

利用四元數可以通過全新的角度來理解和詮釋物理運動，並採用以下四維表達式對動量進行定義（詳見連結文檔第6頁）關於四元數的幾何意義和物理應用 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

閔考斯基模： p²

對一個粒子的四維動量在閔考斯基時空下計算它的模的平方，能夠得到一個勞侖茲不變量，這個量等於這個粒子的固有質量（內秉質量）的平方（乘以係數光速的平方）：

$-|p|^{2}=-\eta ^{\mu \nu }p_{\mu }p_{\nu }={E^{2} \over c^{2}}-|{\vec {p}}|^{2}=m^{2}c^{2}$

這裡我們使用的是傳統的國際單位制下的閔考斯基度規：

$\eta ^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1/c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

由於$|p|^{2}\!$是一個勞侖茲不變量，它的值不隨勞侖茲變換（例如不同參考系間的旋轉和遞升）發生變化。

與四維速度的關係

對於一個有非零靜止質量的粒子，四維動量等於粒子的內秉質量乘以粒子的四維速度：

$p_{\mu }=m\,\eta _{\mu \nu }U^{\nu }\!$

四維速度的定義是

${\begin{pmatrix}U^{0}\\U^{1}\\U^{2}\\U^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma c\\\gamma v_{x}\\\gamma v_{y}\\\gamma v_{z}\end{pmatrix}}$

其中$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}$是勞侖茲因子，$c\,$是真空中的光速。

四維動量的守恆律

四維動量的守恆律能夠給出兩個「古典的」守恆律：

1. 總能量$E=-p_{0}\,$是守恆的。
2. 古典的三維動量${\vec {p}}$是守恆的。

需要注意的是，一個多粒子系統的不變質量可能會大於這個系統中每個粒子的靜止質量的總和，這是因為在系統的質心系中的動能以及粒子間交互作用力產生的位能都對系統的不變質量有貢獻。舉例來說，兩個粒子分別具有四維動量$\left(-5\mathrm {GeV} ,4\mathrm {GeV} /c,0,0\right)$和$\left(-5\mathrm {GeV} ,-4\mathrm {GeV} /c,0,0\right)$，則可知它們都分別具有靜止質量$3\mathrm {GeV} /c^{2}\,$，但系統的靜止質量是$10\mathrm {GeV} /c^{2}\,$。也就是說，如果這兩個粒子碰撞後合成在一起，得到的粒子具有的靜止質量為$10\mathrm {GeV} /c^{2}\,$。

粒子物理學中應用系統不變質量的守恆律的實例之一是，一個原本在實驗室參考系中具有四維動量$q\,$的較重粒子發生衰變後成為兩個分別具有四維動量$p^{A}\,$和$p^{B}\,$的粒子，通過對這兩個動量進行測量能夠得到原先粒子的靜止質量。根據四維動量的守恆律有

$q_{\mu }=p_{\mu }^{A}+p_{\mu }^{B}\,$

而較重粒子的質量又滿足

$-|q|^{2}=M^{2}c^{2}\,$

通過對產生的兩個粒子的能量和三維動量進行測量就能得到這個二粒子系統的不變質量，這個不變質量必然等於原先粒子的不變質量。這個原理的實驗應用如在高能粒子對撞機中尋找Z玻色子，理論上認為Z玻色子會在電子-反電子對或緲子-反緲子對的不變質量能譜上表現為一個峰值。

如果一個物體的質量不發生變化，在閔考斯基時空中它的四維動量和四維加速度彼此正交（即內積為零）。這是由於加速度和動量對時間的導數成正比，從而有

$p_{\mu }A^{\mu }=p_{\mu }{\frac {d}{dt}}{\frac {\eta ^{\mu \nu }p_{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}|p|^{2}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{dt}}(-m^{2}c^{2})=0.$

存在電磁場時的正則動量

在相對論量子力學中，常常需要定義一個「正則」的四維動量$P_{\mu }\,$，它被定義為四維動量和電荷與四維勢乘積的和：

$P_{\mu }=p_{\mu }+qA_{\mu }\!$

電磁場的四維勢是電場純量勢與磁場向量勢的組合：

${\begin{pmatrix}A_{0}\\A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\phi \\A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}$

這樣做的目的是使一個電磁場中的帶電粒子所具有的位能和受到的勞侖茲力能夠簡明地耦合入薛丁格方程式。

參見

• 動量
• 四維向量
• 四維速度
• 狹義相對論

參考資料

• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5. 
• John David Jackson. Classical Electrodynamics Third Edition (Hardcover). Wiley. 1998-08-10. ISBN 978-0471309321.