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磁标势 。
磁矢势 ，又稱磁位 、磁勢 （Magnetic vector potential
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
旋度 是磁場 ，以方程式表示
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
其中，
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
磁場 。
直觀而言，磁向量勢似乎不及磁場來得「自然」、「基本」，而在一般電磁學教科書亦多以磁場來定義磁向量勢。在電磁學發展初期，很多學者認為磁向量勢對於給定介質狀態並沒有實際物理意義[ 1] [ 2] 詹姆斯·馬克士威 頗不以為然，他認為磁向量勢可以詮釋為「每單位電荷儲存的動量」，就好像電勢 被詮釋為「每單位電荷儲存的能量」[ 3] 稍後 會有更詳盡解釋。
磁向量勢並不是唯一定義的；其數值是相對的，相對於某設定數值。因此，學者會疑問到底儲存了多少動量？不論如何，磁向量勢確實具有實際意義。尤其是在量子力學 裏，於1959年，阿哈諾夫－波姆效應 闡明，假設一個帶電粒子移動經過某零電場、零磁場、非零磁向量勢場區域，則此帶電粒子的波函數 相位 會有所改變，因而導致可觀測到的干涉 現象[ 4] [ 5] [ 6] 經典電磁學 裏，磁向量勢也具有明確的意義和直接的測量值[ 7]
磁向量勢與電勢 可以共同用來設定電場 與磁場。許多電磁學 的方程式可以以電場與磁場寫出，或者以磁向量勢與電勢寫出。較高深的理論，像量子力學理論，偏好使用的是磁向量勢與電勢，而不是電場與磁場。因為，在這些學術領域裏所使用的拉格朗日量 或哈密頓量 ，都是以磁向量勢與電勢 表達，而不是以電場與磁場表達。
開爾文男爵 最先於1851年引入磁向量勢的概念，並且給定磁向量勢與磁場之間的關係。[ 8]
根據高斯磁定律 ，磁場是螺線向量場 ；在空間裏任意位置，磁場的散度 等於零：
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
那麼，根據亥姆霍兹定理 （Helmholtz theorem ） ，必定存在一個極向量場 （poloidal vector field ）
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
(1) 因此，假設
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
良好定義 的，則磁單極子 絕對不存在。
又根據安培定律 ，
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
其中，
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
磁常數 ，
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
電流密度 。
應用一則向量恆等式 ，再採用庫侖規範 （Coulomb gauge ），
∇
⋅
A
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
∇
×
B
=
∇
×
(
∇
×
A
)
=
∇
(
∇
⋅
A
)
−
∇
2
A
=
−
∇
2
A
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla ^{2}\mathbf {A} =-\nabla ^{2}\mathbf {A} }
所以，從安培定律 可以推導出電流的帕松方程式 ：
∇
2
A
=
−
μ
0
J
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }
這帕松方程式的解為
A
(
r
)
=
μ
0
4
π
∭
V
′
J
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
d
3
r
′
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '}
根據法拉第感應定律 ，
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
=
−
∂
∂
t
(
∇
×
A
)
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {A} )}
其中，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
電場 。
重新編排，
∇
×
(
E
+
∂
A
∂
t
)
=
0
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0}
所以，在圓括弧內的表達式具有保守性 ，是某函數
ϕ
{\displaystyle \phi }
梯度 ：
E
+
∂
A
∂
t
=
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-\nabla \phi }
設定
ϕ
{\displaystyle \phi }
E
=
−
∇
ϕ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
(2) 在電動力學和量子力學裏，採用拉格朗日表述 ，拉格朗日量 會用到磁向量勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[ 註 1] 包立方程式 、拉格朗日量 。
採用國際標準制 ，磁向量勢的單位為伏特 ·秒／公尺（volt·second·meter−1 ）。
在電動力學 的上下文裏，術語向量勢 和純量勢 分別指的是磁向量勢與電勢。在數學 裏，這兩個術語有更廣義的意義。
上述定義並不能唯一地設定磁向量勢，因為，添加任意無旋矢量
∇
λ
{\displaystyle \nabla \lambda }
B
=
∇
×
A
=
∇
×
(
A
+
∇
λ
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \lambda )}
因此，磁向量勢有一個選擇的自由度 。這狀況稱為規範不變性 。
根據高斯定律 ，
∇
⋅
E
=
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=\rho /\epsilon _{0}}
其中，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
電常數 。
將方程式(2)代入，採用庫侖規範，
∇
⋅
A
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}
∇
⋅
E
=
−
∇
2
ϕ
−
∂
(
∇
⋅
A
)
∂
t
=
−
∇
2
ϕ
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {E}}=-\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {A} )}{\partial t}}=-\nabla ^{2}\phi }
根據馬克士威-安培定律 ，
∇
×
B
=
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
將方程式(1)、(2)代入，可以得到
∇
×
(
∇
×
A
)
=
μ
0
J
−
μ
0
ϵ
0
[
∇
(
∂
ϕ
∂
t
)
+
∂
2
A
∂
t
2
]
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}\left[\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right]}
所以，馬克士威方程組 可以寫為
∇
2
ϕ
=
−
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\rho /\epsilon _{0}}
∇
2
A
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
A
∂
t
2
=
−
μ
0
J
+
μ
0
ϵ
0
∇
(
∂
ϕ
∂
t
)
{\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}
庫侖規範的優點是，很容易就可以計算出電勢，但計算磁向量勢比較困難。
採用勞侖次規範 ，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
∇
⋅
A
+
μ
0
ϵ
0
∂
ϕ
∂
t
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}
這規範的優點是馬克士威方程組可以更簡易對稱地寫為
∇
2
ϕ
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
ϕ
∂
t
2
=
−
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-\rho /\epsilon _{0}}
∇
2
A
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
A
∂
t
2
=
−
μ
0
J
{\displaystyle \nabla ^{2}{\textbf {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}}
以達朗貝爾算符
◻
=
d
e
f
∇
2
−
μ
0
ϵ
0
∂
2
∂
t
2
{\displaystyle \Box \ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla ^{2}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
◻
ϕ
=
−
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \Box \phi =-\rho /\epsilon _{0}}
◻
A
=
−
μ
0
J
{\displaystyle \Box {\textbf {A}}=-\mu _{0}{\textbf {J}}}
注意到這兩個方程式的形式為非齊次波動方程式 ，源項目
−
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle -\rho /\epsilon _{0}}
−
μ
0
J
{\displaystyle -\mu _{0}{\textbf {J}}}
在解析狹義相對論 問題時，很自然而然地會將磁向量勢與電勢連結在一起，成為電磁四維勢。這樣做法主要基於三個動機：
第一、電磁四維勢乃是一個四維向量。使用標準四維向量變換規則，假若知道在某慣性參考系 的電磁四維勢，很容易就可以計算出在其它慣性參考系的數值。
第二、经典电磁学 的內容可以更簡要、更便利地以電磁四維勢表達，特別是當採用勞侖次規範 時。
第三、電磁四維勢在量子電動力學 裏佔有重要的角色。 電磁四維勢定義為
A
α
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}
勞侖次規範以抽象指标记号 表示為
∂
α
A
α
=
0
{\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}
其中，
∂
α
=
d
e
f
∂
∂
x
α
=
d
e
f
(
∂
c
∂
t
,
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
)
{\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)}
反變矢量 的偏微分。
馬克士威方程組寫為
◻
A
α
=
−
μ
0
J
α
{\displaystyle \Box A^{\alpha }=-\mu _{0}J^{\alpha }}
其中，
J
α
=
d
e
f
(
ρ
c
,
j
)
{\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}
四維電流密度 。
前面談到電勢和磁向量勢分別詮釋為每單位電荷儲存能量和每單位電荷儲存動量。這可以從它們的四維矢量 觀察出來。思考四維動量 ，它是由能量
E
{\displaystyle E}
動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
P
α
=
(
E
c
,
p
)
{\displaystyle P^{\alpha }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)}
改變觀測的參考系，四維動量的四個分量會有對應的改變，電磁四維勢也會有類似的改變。假若，電磁四維勢的電勢可以詮釋為每單位電荷儲存能量，那麼，電磁四維勢的磁向量勢應該也有足夠的理由詮釋為每單位電荷儲存動量。
給予在源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}
磁向量勢
A
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}
ϕ
(
r
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
A
(
r
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
在電動力學 裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流 分佈或含時電荷 分佈。定義推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
t
{\displaystyle t}
電磁波 傳播的時間：
t
r
=
d
e
f
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
其中，
c
{\displaystyle c}
光速 。
假設，從源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
r
{\displaystyle t_{r}}
電磁波 傳播於真空 的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間
t
{\displaystyle t}
t
r
{\displaystyle t_{r}}
推遲純量勢
ϕ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\,t)}
推遲向量勢
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
ϕ
(
r
,
t
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
A
(
r
,
t
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式 ，而不是用任何定律 或公理 推導出來的。由於訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間，所以在時間
t
{\displaystyle t}
t
r
{\displaystyle t_{r}}
非齊次的電磁波方程式 [ 9]
採用庫侖規範，一個載有電流密度
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
電感器 （繪圖顯示出其截面），其內部（灰色）的磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
關於載流螺線管周圍的磁向量勢繪圖，請參閱理查·費曼 的著作[ 10]
在靜磁學裏，安培方程式為
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
∇
×
A
=
B
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \ }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
場線 ，就好似電流密度
μ
0
J
{\displaystyle \mu _{0}\mathbf {J} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
右圖顯示出磁向量勢的場線。紅線越粗代表磁向量勢越強（路徑越短，磁向量勢越強，但是磁向量勢的閉合路徑積分相同）。
採用庫侖規範，磁場的散度和旋度分別為
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
∇
×
B
=
μ
0
J
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
而磁向量勢的散度和旋度分別為
∇
⋅
A
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
∇
×
A
=
B
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }
所以，可以將
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
麥可·法拉第 最先提出電緊張態 的概念。在研究電磁感應理論時，他發現當將物體放在磁鐵或電流的附近時，物體會進入一種狀態。假若不打擾這系統，則處於此狀態的物體不會自發地顯示出任何現象。但是，一當系統有所變化，像磁鐵被移動了，或電流被增大了，則這狀態也會改變，因而產生電流或趨向產生電流。法拉第稱此狀態為「電緊張態」（electrontonic state）。但是，這概念並沒有被很明確地說明。[ 11] [ 12]
後來，開爾文男爵 於1851年引入磁向量勢 的概念，並且給定磁向量勢與磁場之間的關係：[ 11]
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
在論文《論法拉第力線》的後半部分，馬克士威開始仔細分析電緊張態的物理性質。他給出一條重要定律：作用於一個導體的微小元素的電場 ，可以由該微小元素的電緊張態對於時間的導數來量度。[ 13]
E
=
−
A
˙
{\displaystyle \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {A} }}}
這是馬克士威學術生涯中的第一個重要突破，他將法拉第的電緊張態辨識為開爾文男爵 的磁向量勢，並且對於電緊張態給出嚴格定義。[ 11]
對於電緊張態的定義式取旋度，則可得到法拉第感應方程式 ：
∇
×
E
=
−
B
˙
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {B} }}}
馬克士威在他的論文裏特別提出，開爾文男爵 於1851年發現的關於磁向量勢的數學性質，[ 14] :198-199 即任意添加一個函數的梯度 給磁向量勢，都不會改變磁向量勢與磁場的關係式、法拉第感應方程式 ，這數學性質後來演化為現今規範自由 的概念。[ 11]
^ 黑維塞, 奧利弗 , On the self-induction of wires , Philosophy Magazine: 173, [1886], ... E and H, which have physical significance in really defining the state of the medium anywhere, which A and P do not. ^ 赫兹, 海因里希 , Electric waves: being researches on the propagation of electric action with finite velocity through space , Macmillan: pp.196, [1893], magnitudes which serve for calculation only ^ 3.0 3.1 Semon, Mark; Taylor, John, Thoughts on the magnetic vector potential, Am. J. Phys., 1996, 64 (11): pp. 1361–1369, doi:10.1119/1.18400 vector potential can be seen as a stored momentum per unit charge in much the same way that electric potential is the stored energy per unit charge ^ Aharonov, Y; Bohm, D, Significance of electromagnetic potentials in quantum theory, Physical Review, 1959, 115 : 485–491, doi:10.1103/PhysRev.115.485 ^ Chambers, R. G., Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux, Physical Review Letters, 1960, 5 (1): pp. 3–5, doi:10.1103/PhysRevLett.5.3 ^ 費曼, 理查 ; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 15, 費曼物理學講義 II (2) 介電質、磁與感應定律, 台灣: 天下文化書: pp. 162–175, 2006, ISBN 978-986-216-231-6for a long time it was believed that A was not a "real" field. .... there are phenomena involving quantum mechanics which show that in fact A is a "real" field in the sense that we have defined it. ... E and B are slowly disappearing from the modern expression of physical laws; they are being replaced by A (the vector potential) and φ (the scalar potential) ^ Konopinski, E. J., What the electromagnetic vector potential describes, American Jounal of Physics, 1978, 46 (5): pp. 499–502 ^ Yang, ChenNing. The conceptual origins of Maxwell’s equations and gauge theory . Physics Today. 2014, 67 (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585 ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X ^ 費曼, 理查 ; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義 II (2) 介電質、磁與感應定律, 台灣: 天下文化書: pp. 167, 2008, ISBN 9789862162316 ^ 11.0 11.1 11.2 11.3 Yang, ChenNing. The conceptual origins of Maxwell’s equations and gauge theory . Physics Today. 2014, 67 (11): 45–51. doi:10.1063/PT.3.2585 ^ 術語在線 . 全国科学技术名词审定委员会. （原始内容存档 于2018-12-02）. electrontonic ^ Whittaker 1951 ，第272-273頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFWhittaker1951 (幫助 ) ^ 馬克士威, 詹姆斯 , 8, Nivin, William (编), The scientific papers of James Clerk Maxwell 1 , New York: Doer Publications, 1890
Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990. ISBN 007707209X Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235 Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition . Pearson Prentice Hall. 2007: 226 –228. ISBN 0-13-241326-4
![{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\mu _{0}\mathbf {J} -\mu _{0}\epsilon _{0}\left[\nabla \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b43c43a17f88b49fb2f28b008d3bc3485613a4)
