卢卡斯数列

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卢卡斯数列是斐波那契数和卢卡斯数的推广，以法国数学家爱德华·卢卡斯命名。

递推关系

给定两个整数P和Q，满足：

$P^{2}-4Q\neq 0$

则第一类卢卡斯数列U_n(P,Q)和第二类卢卡斯数列V_n(P,Q)由以下递推关系定义：

$U_{0}(P,Q)=0\,$

$U_{1}(P,Q)=1\,$

$U_{n}(P,Q)=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\,\,,\,n>1\,$

以及

$V_{0}(P,Q)=2\,$

$V_{1}(P,Q)=P\,$

$V_{n}(P,Q)=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)\,\,,\,n>1\,$

代数关系

卢卡斯数列的特征方程是：

$x^{2}-Px+Q=0\,$

它的判别式是$D=P^{2}-4Q$，它的根是：

$a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad ,\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,$

注意a和b是不同的，因为$D\neq 0.$

卢卡斯数列的项可以用a和b的项定义如下：

$U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}$

$V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\,$

从中我们可以推出以下关系：

$a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}$

$b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}$

其他关系

不少斐波那契数和卢卡斯数所满足的关系，在卢卡斯数列中也有类似的形式。例如：

一般	P=1, Q=-1
$U_{n}={\frac {V_{n+1}-QV_{n-1}}{P^{2}-4Q}}$	$U_{n}={\frac {V_{n+1}+V_{n-1}}{5}}$
$V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}$	$V_{n}=U_{n+1}+U_{n-1}$
$U_{2n}=U_{n}V_{n}$	$U_{2n}=U_{n}V_{n}$
$V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}$	$V_{2n}=V_{n}^{2}-2(-1)^{n}$
$U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}$	$U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}+U_{m}U_{n-1}$
$V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}\,$	$V_{n+m}=V_{n}V_{m}-(-1)^{m}V_{n-m}\,$

特殊名称

对于某些P和Q的值，卢卡斯数列有特殊名称：

U_n(1,−1)：斐波那契数

V_n(1,−1)：卢卡斯数

U_n(2,−1)：佩尔数

U_n(1,−2)：Jacobsthal数

应用

• LUC是一个基于卢卡斯数列的密码系统。

参考文献

• Ribenboim, Paulo. My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000. 0-387-98911-0. 
• Arthur T. Benjamin; Jennifer J. Quinn. Proofs that Really Count. Mathematical Association of America. 2003: 35. ISBN 0883853337. 
• Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).