閉形式和恰當形式

在數學，特別是向量分析與微分拓撲中，一個閉形式 $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$的微分形式；而恰當形式(恰當微分形式) $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某個微分形式 $\beta$ 使得 $\alpha =d\beta$，$\beta$ 稱為關於 $\alpha$ 的一個「本原」。

因為 $d^{2}=0$，所以恰當形式一定是閉形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的，可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0-形式是否恰當沒有意義，因為 $d$ 將階數提高 1，不過可以規定恰當 0-形式就是零函數。

當兩個閉形式的差是一個恰當形式時，稱它們為相互上同調的。這便是說，如果 $\zeta$ 與 $\eta$ 是閉形式，且存在某個 $\beta$ 使得

$\zeta -\eta =d\beta \ ,$

則我們說 $\zeta$ 與 $\eta$ 是互相上同調的。恰當形式經常稱為上同調於零。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素；對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。

$\mathbb {R} ^{2}$ 與 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上，0-形式就是函數，2-形式是函數乘以基本面積元 $dx\wedge dy$，故只有 1-形式

$\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意義，其外導數 $d$ 是

$d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

這裏下標表示偏導數。從而 $\alpha$「閉」的條件是

$f_{y}=g_{x}\ .$

當 $h(x,y)$ 是一個函數時則

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

「恰當形式是閉形式」便是關於 x 與 y 二階導數的對稱性的一個推論，這可以直接推廣到高維情形。

在$\mathbb {R} ^{2}$上，恰當 1-形式相當於有勢場（保守場），閉 1-形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。

龐加萊引理

龐加萊引理斷言：如果 $X$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中可縮開子集，對任何整數 $p>0$，任何定義在 $X$ 上的光滑閉 $p$-形式 $\alpha$ 是恰當的（這只在 $p\leq n$ 有內容）。

可縮意味着存在同倫映射 $F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X$ 將 $X$ 形變為一點。從而任何 $X$ 中的閉鏈 $c$ 都是某個「錐」的邊緣；我們可以取錐為 $X$ 在同倫下的像。這個性質的對偶版本給出了龐加萊引理。

更確切地，我們將 $X$ 與柱 $X\times [0,1]$ 聯繫起來，分別通過映射 $j_{1}(x)=(x,1)$與$j_{0}(x)=(x,0)$與頂端和底面等價。在微分形式上，誘導拉回映射 $j_{1}^{*}$與 $j_{0}^{*}$ 由上鏈同倫聯繫：

$Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .$

令 $\Omega ^{p}(x)$表示 $X$ 上的 $p$-形式，映射$K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)$是柱映射的對偶，定義為：

$a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},$

這裏 $dx^{p}$ 是一個不含 $dt$ 的單項 $p$-形式。所以如果$F$是$X$到一點$Q$的同倫形變，那麼

$F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .$

在形式上：

$j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .$

將這兩個等式代入上鏈同倫等式便證明了龐加萊引理。

這個引理的一個推論是德拉姆上同調是同倫不變量。龐加萊引理的本質是局部的，大範圍的結果就是德拉姆定理。

不可縮空間不一定有平凡的德拉姆上同調。例如，在$t\in [0,1]$參數化圓周$S^{1}$上，閉 1-形式$dt$不是恰當的（注意：$t$不能定義為整個 $S^{1}$上的函數，但$dt$是一個良定的閉形式）。這是因為恰當形式在圓周上積分為 0，但$dt$在圓周上積分是$2\pi$。

參考文獻

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
• 陳維桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7