萊默平均

萊默平均（Lehmer mean）是一種與冪平均類似的廣義平均數，由美國數學家德里克·亨利·萊默提出。

定義

若 $p$ 是任意實數，則可定義正實數組 $\mathbf {x}$ 的 $p$ 次萊默平均為

$L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}}}.$

若 $w_{k}$ 是一組正實數，則可定義加權萊默平均為

$L_{p,w}(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}\cdot x_{k}^{p-1}}}.$

性質

萊默平均可以看成是關於冪指數的函數，定義萊默平均函數 $p\mapsto L_{p}(\mathbf {x} )$ ，則萊默平均函數的導數是非負的：

${\frac {\partial }{\partial p}}L_{p}(\mathbf {x} )={\frac {\left(\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=j+1}^{n}\left[x_{j}-x_{k}\right]\cdot \left[\ln(x_{j})-\ln(x_{k})\right]\cdot \left[x_{j}\cdot x_{k}\right]^{p-1}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{p-1}\right)^{2}}}\geq 0$

因此，萊默平均函數是單調增函數且有如下萊默平均不等式：

$p\leq q\rightarrow L_{p}(\mathbf {x} )\leq L_{q}(\mathbf {x} )$

加權形式亦有此結論。

特例

• $\lim _{p\to -\infty }L_{p}(\mathbf {x} )$ 即$\mathbf {x}$這組數的最小值.
• $L_{0}(\mathbf {x} )$即調和平均數.
• $L_{\frac {1}{2}}\left((x_{1},x_{2})\right)$即 $x_{1}$ 和$x_{2}$的幾何平均數 .
• $L_{1}(\mathbf {x} )$ 即 算術平均數.
• $L_{2}(\mathbf {x} )$ 即反調和平均數.
• $\lim _{p\to \infty }L_{p}(\mathbf {x} )$ 即$\mathbf {x}$這組數的最大值.

參見條目

• 平均
• 冪平均
• 平方平均
• 算術平均
• 幾何平均
• 調和平均
• 海倫平均（Heronian mean）
• 算術幾何平均不等式