UPGMA

UPGMA （unweighted pair group method with arithmetic mean）是一種相對簡單的層次聚類方法。這個方法存在另一種變體 WPGMA。這個方法的創始人被認為是Sokal和Michener 。

演算方法

UPGMA 演法構建出一棵有根樹（樹狀圖）表現相似矩陣或相異矩陣中的特徵與結構。在算法裏的每一步，距離最近的兩個集群（子樹）將被組合成一個更高級別的集群。任意兩個集群${\mathcal {A}}$和${\mathcal {B}}$ 之間的距離，是由所有${\mathcal {A}}$裏的$x$元素和所有${\mathcal {B}}$裏的$y$元素的距離$d(x,y)$的平均值，即每個集群的元素之間的平均距離，其中 ${|{\mathcal {A}}|}$和${|{\mathcal {B}}|}$是該兩個集群的基數（集合大小）：

$d_{{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}={1 \over {|{\mathcal {A}}|\cdot |{\mathcal {B}}|}}\sum _{x\in {\mathcal {A}}}\sum _{y\in {\mathcal {B}}}d(x,y)$

換句話說，在每一次組合成新集群的步驟中，可以由$d_{{\mathcal {A}},X}$和$d_{{\mathcal {B}},X}$的加權平均給出集群${\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$和一個新集群$X$之間的距離：

$d_{({\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}),X}={\frac {|{\mathcal {A}}|\cdot d_{{\mathcal {A}},X}+|{\mathcal {B}}|\cdot d_{{\mathcal {B}},X}}{|{\mathcal {A}}|+|{\mathcal {B}}|}}$

UPGMA 演算法生成的有根樹狀圖是一個超度量樹，該樹需要套用等速率的假設，也就是說根到每個分支尖端的距離皆相等。當尖端是同時採樣的分子數據（即DNA 、 RNA和蛋白質）時，超度量假設就等同於分子鐘假設。

示例

這個示例是基於JC69基因距離矩陣，該矩陣是根據五種細菌的5S 核糖體 RNA序列計算出來的，五種細菌如下所列 ：

枯草桿菌 Bacillus subtilis( $a$ )

嗜熱脂肪芽孢桿菌 <i>Bacillus stearothermophilus</i>( $b$ )

魏斯氏菌 Lactobacillus viridescens( $c$ )

無原枯草桿菌 Acholeplasma modicum( $d$ )

藤黃微球菌 <i>Micrococcus luteus</i>( $e$ )

第一步

• 首次集群

假設有五個物件$(a,b,c,d,e)$和他們之間的相異矩陣$D_{1}$：

	a	b	c	d	e
a	0	17	21	31	23
b	17	0	30	34	21
c	21	30	0	28	39
d	31	34	28	0	43
e	23	21	39	43	0

在這裏，$D_{1}(a,b)=17$是最小值，所以將$a$和$b$集群。

• 第一分支長度估計

令$u$表示現在$a$ 和 $b$ 的祖先。為了讓$a$ 和 $b$ 與 $u$等距，假設$\delta (a,u)=\delta (b,u)=D_{1}(a,b)/2$，這對應到了超度量的假設。在這個範例中：$\delta (a,u)=\delta (b,u)=17/2=8.5$

• 第一次相異矩陣更新

然後將$D_{1}$更新成一個新的距離矩陣$D_{2}$（計算在下方），由於$a$和$b$的集群，該矩陣的尺寸減少了一行一列。（$D_{2}$中粗體表示的值是由加權平均計算出的新距離）

$D_{2}((a,b),c)=(D_{1}(a,c)\times 1+D_{1}(b,c)\times 1)/(1+1)=(21+30)/2=25.5$

$D_{2}((a,b),d)=(D_{1}(a,d)+D_{1}(b,d))/2=(31+34)/2=32.5$

$D_{2}((a,b),e)=(D_{1}(a,e)+D_{1}(b,e))/2=(23+21)/2=22$

$D_{2}$中的斜體值不受矩陣更新影響，因為他們與第一個集群中的元素完全美有關連。

第二步

• 第二次集群

現在重複前面的三個步驟，並從新的相異矩陣$D_{2}$開始

	(a,b)	ｃ	d	ｅ
(a,b)	0	25.5	32.5	22
ｃ	25.5	0	28	39
d	32.5	28	0	43
ｅ	22	39	43	0

在這個矩陣中， $D_{2}((a,b),e)=22$是$D_{2}$中的最小值，所以將$(a,b)$和元素$e$集成新群。

• 第二次分支長度估計

令$v$表示節點$(a,b)$和$e$的祖先。由超度量假設可以得到$a,b,e$三頂點到$v$的距離相等，即：$\delta (a,v)=\delta (b,v)=\delta (e,v)=22/2=11$，從而可以計算出$u$到$v$的距離$\delta (u,v)=\delta (e,v)-\delta (a,u)=\delta (e,v)-\delta (b,u)=11-8.5=2.5$

• 第二次距離矩陣更新

然後將$D_{2}$更新成新的距離矩陣$D_{3}$，數值計算如下：

$D_{3}(((a,b),e),c)=(D_{2}((a,b),c)\times 2+D_{2}(e,c)\times 1)/(2+1)=(25.5\times 2+39\times 1)/3=30$

$D_{3}(((a,b),e),d)=(D_{2}((a,b),d)\times 2+D_{2}(e,d)\times 1)/(2+1)=(32.5\times 2+43\times 1)/3=36$

第三、四步

重複上述動作可以得到$D_{3}$是

	((a,b),e)	c	d
((a,b),e)	0	30	36
c	30	0	28
d	36	28	0

$D_{4}$是：

	((a,b),e)	（c,d）
((a,b),e)	0	33
（c,d）	33	0

UPGMA樹狀圖

這裏顯示了完成的樹狀圖。它是超度量的，所有尖端（ $a$到$e$ ) 與$r$等距離 :

$\delta (a,r)=\delta (b,r)=\delta (e,r)=\delta (c,r)=\delta (d,r)=16.5$

這個樹狀圖的根是它最深的節點$r$ 。

時間複雜度

構建 UPGMA 樹的算法有$O(n^{3})$時間複雜度。使用一個堆維護兩個即群之間的距離可以使時間達到$O(n^{2}\log n)$ . 另外Fionn Murtagh 提出了一個$O(n^{2})$時空複雜度的算法。

See also

• 鄰接法
• 集群分析
• 單連結聚類
• 完全連鎖聚類
• 層次即群
• DNA進化模型
• 分子鐘

外部連結

• UPGMA聚類算法在Ruby中的實現（AI4R） （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 使用相似矩陣計算 UPGMA 的示例 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 使用距離矩陣計算 UPGMA 的示例 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）