范德堡法

范德堡法（英語：Van der Pauw method），又稱四點量測法，是一種測量樣品電阻率和霍爾係數的技術。它能夠用於精確測量任意形狀的樣品，只要樣品大約是二維的（非常薄)，固體（無孔），電極能放在它的邊上。范德堡法在樣品四周放置了四個探針，這與四端點測量技術不同：前者測得樣品平均電阻率，而後者測量傳感方向上的電阻率。利用這一不同，在測量各向異性材料的屬性時，可使用范德堡法的擴展方法，即蒙哥馬利方法。

根據測量數據可以計算材料的以下屬性：

• 材料的電阻率。
• 摻雜類型（即是p型或是n型材料）。
• 多數載流子的面密度（單位面積多數載流子的數量），通過這個可以得到電荷密度和摻雜程度。
• 多數載流子的遷移率。

該方法在1958年首次被Leo J. van der Pauw提出。

使用條件

使用這種技術有五個必須滿足的條件：

1. 樣品必須是具有均勻厚度的平面形狀。
   
2. 樣品必須沒有任何孤立的洞；
   
3. 樣本必須是均勻和各向同性的；
   
4. 四個電極必須位於樣品邊緣；
   
5. 任何一個電極接觸的面積應該至少比整個樣品的面積少一個數量級。

樣品準備

使用范德堡法時，樣品厚度必須遠低於樣品的寬度和長度。為了減少計算的誤差，樣品最好是對稱的。樣品必須沒有孤立的洞。

一些可能的放置方法

測量時需放置四個歐姆接觸。他們的位置需要滿足一定條件：

• 它們必須在樣品的邊界（或儘可能接近邊界）。
• 它們必須無限小。實際上，它們需要儘可能小；由非零大小導致的錯誤將出現於計算D/L處，D是歐姆接觸的平均直徑而L是電極之間的距離。

此外，從電極引出的導線應是同一批次的線，以將熱電效應的影響降至最低。出於同樣的原因，四個電極應選用相同的材料。

測量的定義

• 電極在左上開始按逆時針從1到4編號。
• 電流I₁₂是由1流入由2流出的直流電流，單位是安培（A）。
• 電壓V₃₄是沒有外部磁場時接觸3和4間的直流電壓（即V₄-V₃），單位是伏特（V）。 
• 電阻率ρ是單位是歐姆⋅米（Ω⋅m）。 
• 樣品的厚度t的單位是米（m）。
• 薄膜電阻R_S的單位是歐姆每平方（Ω/sq或$\Omega /\Box$）。

測量電阻率

樣品的平均電阻率ρ=R_S⋅t，薄層電阻R_S的決定如下。對於電阻率各向異性材料、個別電阻組件，如ρ_x或ρ_y，可以使用蒙哥馬利方法計算。

基本的測量

測量樣品一邊的電流（例如I₁₂）和對邊的電壓（在這裡是V₃₄）。根據這兩個值，使用歐姆定律（在這裡就是$R_{12,34}$）可以得到一個電阻：

$R_{12,34}={\frac {V_{34}}{I_{12}}}$

在范德堡的論文中，具有任意形狀的樣品薄膜電阻可以由兩個電阻確定——一個測量垂直邊緣得到的，如$R_{12,34}$，另一個由測量相應的水平邊緣得到，如$R_{23,41}$，實際的薄膜電阻可由這個范德堡公式求出。

$e^{-\pi R_{12,34}/R_{s}}+e^{-\pi R_{23,41}/R_{s}}=1$

利用互能定理測量

互能定理告訴我們：

$R_{AB,CD}=R_{CD,AB}$

因此，通過兩個額外的倒數值的測量並求平均結果可以獲得一個更精確的電阻值。

我們定義

$R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}}{2}}$

和

$R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}}{2}}$

然後，范德堡公式變為

$e^{-\pi R_{\text{vertical}}/R_{S}}+e^{-\pi R_{\text{horizontal}}/R_{S}}=1$

交換極性後測量

要想得到更準確的值，可以在切換電流源和電壓表的極性後重複測量。因為這仍然是測量樣品的相同部分，只是方向相反，R_vertical和R_horizontal仍然可以通過求平均值獲得。這樣做的好處是，任何補償電壓，如由於塞貝克效應導致的電勢，將會被抵消。

結合這兩種方法導出電阻的公式：

$R_{\text{vertical}}={\frac {R_{12,34}+R_{34,12}+R_{21,43}+R_{43,21}}{4}}$

和

$R_{\text{horizontal}}={\frac {R_{23,41}+R_{41,23}+R_{32,14}+R_{14,32}}{4}}$

范德堡公式和前一節中的相同。

測量精度

上面的兩個程序可檢驗測量的可重複性。如果任何交換極性後的測量結果與相應的標準極性的測量結果差距過大（一般大於3%），可能是因為操作錯誤導致。同樣的原則也適用於利用互能定理的測量，只有達到足夠精度才能用於計算。

計算薄層電阻

一般來說，范德堡公式不能按照已知函數得到薄層電阻R_S。值得注意的例外是當R_vertical = R = R_horizontal時，在這種情況下的薄層電阻有

$R_{s}={\frac {\pi R}{\ln 2}}$

在其他情況下，可以利用迭代法求R_S。然而，這個公式並不滿足巴拿赫不動點定理的前提條件，因此不能使用基於巴拿赫不動點定理的方法。相反，區間套收斂緩慢而穩定。

另外，牛頓迭代法收斂較快。為了簡化公式，改用下列符號：

$s=e^{-\pi /{R_{s}}}$

$R_{v}=R_{vertical}$

$R_{h}=R_{horizontal}$

然後下一個近似$R_{s}^{+}$是

$R_{s}^{+}=R_{s}+R_{s}^{2}{\frac {1-s^{R_{v}}-s^{R_{h}}}{\pi (R_{v}s^{R_{v}}+R_{h}s^{R_{h}})}}$

其他計算

遷移率

半導體材料的電阻率可以由以下公式得到：

$\rho ={\frac {1}{q(n\mu _{n}+p\mu _{p})}}$

其中，n和p分別是物質中電子和空穴的濃度，μ_n和μ_p分別為電子和空穴的遷移率。

通常，材料被足夠地摻雜，所以這兩個濃度有數個數量級的差別，所以這個方程可以簡化為

$\rho ={\frac {1}{qn_{m}\mu _{m}}}$

其中n_m和μ_m是多數載流子的摻雜程度和遷移率。

如果我們注意到，薄層電阻R_S等於電阻率除以樣本的厚度，板密度nS是摻雜程度乘以厚度，我們可以消去厚度得到

$R_{s}={\frac {1}{qn_{s}\mu _{m}}}$

這可以依照前面計算得到的薄層電阻和板密度重新得出多數載流子遷移率：

$\mu _{m}={\frac {1}{qn_{s}R_{s}}}$

參考資料

• van der Pauw, L.J. A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape (PDF). Philips Research Reports. 1958, 13: 1–9 [2018-07-13]. （原始內容 (PDF)存檔於2018-11-10）. 
• van der Pauw, L.J. A method of measuring the resistivity and Hall coefficient on lamellae of arbitrary shape (PDF). Philips Technical Review. 1958, 20: 220–224 [2018-07-13]. （原始內容 (PDF)存檔於2015-08-24）. 
• Hall Effect Measurements. National Institute of Standards and Technology. [2006-06-24]. （原始內容存檔於2006-06-15）. 
• Measuring Electrical Conductivity and Resistivity with the van der Pauw Technique （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）