牛顿法

牛顿法（英語：Newton's method）又称为牛顿-拉弗森方法（英語：Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数$f(x)$的泰勒级数的前面几项来寻找方程$f(x)=0$的根。

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛頓在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后於1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鮑易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明

蓝线表示方程$f$而红线表示切线。可以看出$x_{n+1}$比$x_{n}$更靠近$f$所要求的根$x$。

首先，选择一个接近函数$f(x)$零点的$x_{0}$，计算相应的$f(x_{0})$和切线斜率$f'(x_{0})$（这里$f'$表示函数$f$的导数）。然后我们计算穿过点$(x_{0},f(x_{0}))$并且斜率为$f'(x_{0})$的直线和$x$轴的交点的$x$坐标，也就是求如下方程的解：

$0=(x-x_{0})\cdot f'(x_{0})+f(x_{0})$

我们将新求得的点的$x$坐标命名为$x_{1}$，通常$x_{1}$会比$x_{0}$更接近方程$f(x)=0$的解。因此我们现在可以利用$x_{1}$开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

已有证明牛顿迭代法的二次收敛必须满足以下条件：
$f'(x)\neq 0$; 对于所有$x\in I$，其中$I$为区间[α − r, α + r]，且$x_{0}$在区间其中$I$内，即 $r\geqslant \left|a-x_{0}\right|$ 的;
对于所有$x\in I$，$f''(x)$是连续的;
$x_{0}$足够接近根 α。

然而当$f(x)=0$在$x=a$处有m重根时，这时牛顿法会降为线性收敛，虽然使用牛顿法也可以继续算下去，但收敛速度会减慢。

其它例子

第一个例子

求方程$\cos(x)-x^{3}=0$的根。令$f(x)=\cos(x)-x^{3}$，两边求导，得$f'(x)=-\sin(x)-3x^{2}$。由于$-1\leq \cos(x)\leq 1(\forall x)$，则$-1\leq x^{3}\leq 1$，即$-1\leq x\leq 1$，可知方程的根位于$0$和$1$之间。我们从$x_{0}=0.5$开始。

${\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\frac {\cos(0.5)-0.5^{3}}{-\sin(0.5)-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112141637097\\x_{2}&=&x_{1}-{\frac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909672693736\\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7263818209\\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86547}}7135298\\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.8654740331}}11\\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865474033102}}\end{matrix}}$

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。

求$a$的$m$次方根。

$x^{m}-a=0$

设$f(x)=x^{m}-a$，$f'(x)=mx^{m-1}$

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛顿法来迭代：

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{m}-a}{mx_{n}^{m-1}}}$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}}{m}}(1-ax_{n}^{-m})$

（或 $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {1}{m}}\left(x_{n}-a{\frac {x_{n}}{x_{n}^{m}}}\right)$）

應用

求解最值問題

主条目：應用於最優化的牛頓法

牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零，故可用牛頓法求導函數的零點，其疊代式為

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f^{\prime }(x_{n})}{f^{\prime \prime }(x_{n})}}.$

求拐点的公式以此类推

電腦程式

可以用程式寫出牛頓法:

例題:$f(x)=x^{3}-10x^{2}+x+1=0$ 求x

用Python:

from math import pow
def f(x):
    y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1
    return y
def dx(x):
    y = (3*x*x)-(20*x)+1
    return y
x = 1
for i in range(1000):
    x = x - (f(x)/dx(x))
print(x)

用C語言:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double x = 1.0;
double f(double x){
    double y = pow(x,3)-(10*x*x)+x+1;
    return y;}
double dx(double x){
    double y = (3*x*x)-(20*x)+1;
    return y;}
int main (){
    for(int i=0;i<1000;i++){
    x = x - (f(x)/dx(x));}
    printf(" %f",x);
    return 0;
}

只要修改f(x)和dx(x)函數就可以解其他方程式

外部連結

• JAVA：牛頓勘根法 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （繁體中文）