草稿:波林那克猜想

在数论中，波里尼亚克猜想由阿尔丰斯·德·波利尼亚克于 1849 年提出，并指出：[1]

对于任何正偶数 n，存在无限多个大小为n的质数间隙。换句话说：两个连续质数相差n的情况有无限多种。[2] 尽管对于任何给定的n值，该猜想尚未得到证明或反驳，但张一堂在 2013 年取得了重要突破，他证明了对于n < 70,000,000的某个值，存在无限多个大小为n 的素数间隙。 [3] [4]同年晚些时候，詹姆斯·梅纳德 (James Maynard)宣布了一项相关突破，证明存在无限多个小于或等于 600 的素数间隙。 ，即张宣布一年后，根据Polymath专案wiki，n已减少到246 。[7]

当n =2时，它是孪生素数猜想。对于n = 4，它表示有无限多个表兄弟素数( p , p + 4)。对于n = 6，它表示存在无限多个性感素数（p， p + 6），且p和 p + 6 之间没有质数。

迪克森猜想概括了波利尼亚克猜想，涵盖了所有素星座。

推测密度 让 𝜋 𝑛 （ 𝑋 ） {\displaystyle \pi _{n}(x)}对于偶数n是小于x的大小为n的质数间隙的数量。

第一个Hardy-Littlewood 猜想表明渐近密度有形式

𝜋 𝑛 （ 𝑋 ） ～ 2 𝐶 𝑛 𝑋 （ 因 ⁡ 𝑋 ） 2 ～ 2 𝐶 𝑛 ∫ 2 𝑋 𝑑 𝑡 （ 因 ⁡ 𝑡 ） 2 {\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{ x}{dt \over (\ln t)^{2}}} 其中C n是n的函数，且 ～ {\displaystyle \sim }表示当x接近无穷大时，两个表达式的商趋于1 。[8]

C 2是孪生素数常数

𝐶 2 = ∏ 𝑝 ≥ 3 𝑝 （ 𝑝 - 2 ） （ 𝑝 - 1 ） 2 ≈ 0.660161815846869573927812110014 …… {\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\约 0.660161815846869573927812110014\dots } 其中乘积扩展到所有质数p ≥ 3。

C n是C 2乘以一个数，该数取决于n的奇质因数q：

𝐶 𝑛 = 𝐶 2 ∏ 𝑞 | 𝑛 𝑞 - 1 𝑞 - 2 。 {\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.} 例如，C 4 = C 2 且C 6 = 2 C 2。孪生素数的猜想密度与表亲素数相同，是性感素数的一半。

请注意，与孪生素数相比，n的每个奇素数因子q都会增加猜想的密度 𝑞 - 1 𝑞 - 2 {\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}。接下来是一个启发式的论证。它依赖于一些未经证实的假设，因此结论仍然是一个猜想。随机奇素数q除以随机“潜在”孪生素数对中的a或a + 2的机会为 2 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {2}{q}}} ， 因为q将q个 数字之一从a整除到a + q − 1 。​​​ q 整除a + n当且仅当q整除a时，出现这种情况的机会是 1 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}。 ( a , a + n ) 不受因子q影响的几率除以 ( a , a + 2 ) 不受q影响的几率，则变为 𝑞 - 1 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}除以 𝑞 - 2 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}。这等于 𝑞 - 1 𝑞 - 2 {\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}它转移到推测的素数密度。在n = 6的情况下 ，此参数简化为： 如果a是随机数，则 3 有 2/3 的机会除以a或a + 2，但只有 1/3 的机会除以a和a + 6，因此后一对被推测为素数的可能性是其两倍。

注释

德·波利尼亞克，A. (1849)。「Recherches nouvelles sur les nombres primes」 [質數的新研究]。Comptes rendus（法）。29：397–401。 從頁。 400: “1 er Théorème. Tout nombrepair est égal à la différence de deux nombres Premiers consécutifs d'une infinité de manières …”（第一定理。每個偶數等於無限個數中兩個連續素數的差方法 … ）
Tattersall, JJ (2005)，《初等數論九章》，劍橋大學出版社，ISBN 978-0-521-85014-8，p。 112
張義堂 (2014). 「質數之間有界差距」。數學年鑑。179（3）：1121-1174。doi：10.4007/annals.2014.179.3.7。先生3171761。ZBL 1290.11128。   （需訂閱）
Erica Klarreich（2013 年 5 月 19 日）。「默默無聞的數學家彌合了素數差距」。西蒙斯科學新聞。2013 年5 月 21 日檢索。
本傑明·奧熱羅（2014 年 1 月 15 日）。“一個古老的數學難題即將被解開？”。Phys.org 。2014 年2 月 10 日檢索。

“质数之间的有界间隙”。博学者。检索于2014 年 3 月 27 日。 “质数之间的有界间隙”。博学者。检索于2014 年 2 月 21 日。

貝特曼，保羅·T .； Diamond，Harold G. (2004)，《解析數論》，《世界科學》，第 14 頁。 313，國際標準書號 981-256-080-7，ZBL  1074.11001。

参考文献 阿尔方斯‧德‧波利尼亚克，《首演的新名字》。Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849) 韦斯坦，埃里克·W. “德波利尼亚克猜想”。数学世界。 Weisstein，Eric W. “k-元组猜想”。数学世界。