草稿:波林那克猜想

在數論中，波里尼亞克猜想由阿爾豐斯·德·波利尼亞克於 1849 年提出，並指出：[1]

對於任何正偶數 n，存在無限多個大小為n的質數間隙。換句話說：兩個連續質數相差n的情況有無限多種。[2] 儘管對於任何給定的n值，該猜想尚未得到證明或反駁，但張一堂在 2013 年取得了重要突破，他證明了對於n < 70,000,000的某個值，存在無限多個大小為n 的素數間隙。 [3] [4]同年晚些時候，詹姆斯·梅納德 (James Maynard)宣布了一項相關突破，證明存在無限多個小於或等於 600 的素數間隙。 ，即張宣布一年後，根據Polymath專案wiki，n已減少到246 。[7]

當n =2時，它是孿生素數猜想。對於n = 4，它表示有無限多個表兄弟素數( p , p + 4)。對於n = 6，它表示存在無限多個性感素數（p， p + 6），且p和 p + 6 之間沒有質數。

迪克森猜想概括了波利尼亞克猜想，涵蓋了所有素星座。

推測密度 讓 𝜋 𝑛 （ 𝑋 ） {\displaystyle \pi _{n}(x)}對於偶數n是小於x的大小為n的質數間隙的數量。

第一個Hardy-Littlewood 猜想表明漸近密度有形式

𝜋 𝑛 （ 𝑋 ） ～ 2 𝐶 𝑛 𝑋 （ 因 ⁡ 𝑋 ） 2 ～ 2 𝐶 𝑛 ∫ 2 𝑋 𝑑 𝑡 （ 因 ⁡ 𝑡 ） 2 {\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{ x}{dt \over (\ln t)^{2}}} 其中C n是n的函數，且 ～ {\displaystyle \sim }表示當x接近無窮大時，兩個表達式的商趨於1 。[8]

C 2是孿生素數常數

𝐶 2 = ∏ 𝑝 ≥ 3 𝑝 （ 𝑝 - 2 ） （ 𝑝 - 1 ） 2 ≈ 0.660161815846869573927812110014 …… {\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\約 0.660161815846869573927812110014\dots } 其中乘積擴展到所有質數p ≥ 3。

C n是C 2乘以一個數，該數取決於n的奇質因數q：

𝐶 𝑛 = 𝐶 2 ∏ 𝑞 | 𝑛 𝑞 - 1 𝑞 - 2 。 {\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.} 例如，C 4 = C 2 且C 6 = 2 C 2。孿生素數的猜想密度與表親素數相同，是性感素數的一半。

請注意，與孿生素數相比，n的每個奇素數因子q都會增加猜想的密度 𝑞 - 1 𝑞 - 2 {\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}。接下來是一個啟發式的論證。它依賴於一些未經證實的假設，因此結論仍然是一個猜想。隨機奇素數q除以隨機「潛在」孿生素數對中的a或a + 2的機會為 2 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {2}{q}}} ， 因為q將q個 數字之一從a整除到a + q − 1 。​​​ q 整除a + n當且僅當q整除a時，出現這種情況的機會是 1 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}。 ( a , a + n ) 不受因子q影響的幾率除以 ( a , a + 2 ) 不受q影響的幾率，則變為 𝑞 - 1 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}除以 𝑞 - 2 𝑞 {\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}。這等於 𝑞 - 1 𝑞 - 2 {\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}它轉移到推測的素數密度。在n = 6的情況下 ，此參數簡化為： 如果a是隨機數，則 3 有 2/3 的機會除以a或a + 2，但只有 1/3 的機會除以a和a + 6，因此後一對被推測為素數的可能性是其兩倍。

註釋

德·波利尼亞克，A. (1849)。「Recherches nouvelles sur les nombres primes」 [質數的新研究]。Comptes rendus（法）。29：397–401。 從頁。 400: “1 er Théorème. Tout nombrepair est égal à la différence de deux nombres Premiers consécutifs d'une infinité de manières …”（第一定理。每個偶數等於無限個數中兩個連續素數的差方法 … ）
Tattersall, JJ (2005)，《初等數論九章》，劍橋大學出版社，ISBN 978-0-521-85014-8，p。 112
張義堂 (2014). 「質數之間有界差距」。數學年鑑。179（3）：1121-1174。doi：10.4007/annals.2014.179.3.7。先生3171761。ZBL 1290.11128。   （需訂閱）
Erica Klarreich（2013 年 5 月 19 日）。「默默無聞的數學家彌合了素數差距」。西蒙斯科學新聞。2013 年5 月 21 日檢索。
本傑明·奧熱羅（2014 年 1 月 15 日）。“一個古老的數學難題即將被解開？”。Phys.org 。2014 年2 月 10 日檢索。

“質數之間的有界間隙”。博學者。檢索於2014 年 3 月 27 日。 “質數之間的有界間隙”。博學者。檢索於2014 年 2 月 21 日。

貝特曼，保羅·T .； Diamond，Harold G. (2004)，《解析數論》，《世界科學》，第 14 頁。 313，國際標準書號 981-256-080-7，ZBL  1074.11001。

參考文獻 阿爾方斯‧德‧波利尼亞克，《首演的新名字》。Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849) 韋斯坦，埃里克·W. “德波利尼亞克猜想”。數學世界。 Weisstein，Eric W. “k-元組猜想”。數學世界。