哈密顿量 (最佳控制)

最优控制中的哈密顿量（Hamiltonian）是由列夫·庞特里亚金所发展，是庞特里亚金最小化原理的一部份。哈密顿量的概念是由古典力学中的哈密顿力学所引发，但两者是不同的概念。庞特里亚金证明了求解最优控制问题的必要条件，就是要选择可使哈密顿量最小化的控制输入。细节可参考庞特里亚金最小化原理。

问题的叙述

最佳控制的问题，是要选择控制输入$u(t)$，使以下的目标函数有最小值

$J(u)=\Psi (x(T))+\int _{0}^{T}L(x,u,t)dt$

其中$x(t)$为系统状态，满足状态方程式

${\dot {x}}=f(x,u,t)\qquad x(0)=x_{0}\quad t\in [0,T]$

控制需满足以下的限制条件

$a\leq u(t)\leq b\quad t\in [0,T]$

哈密顿量的定义

$H(x,\lambda ,u,t)=\lambda ^{T}(t)f(x,u,t)+L(x,u,t)\,$

其中$\lambda (t)$为协态变数组成的向量，其维度和状态变数$x(t)$相同。

若要进一步了解哈密顿量的性质，可参考庞特里亚金最小化原理。

离散时间下的哈密顿量

若问题是在离散时间下，其哈密顿量定义为：

$H(x,\lambda ,u,t)=\lambda ^{T}(t+1)f(x,u,t)+L(x,u,t)\,$

而协态方程为

$\lambda (t+1)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}+\lambda (t)$

（注意此处提到，离散哈密顿量在时间$t$的值和协态变数在时间$t+1$的值有关。这个小差异很重要，在对$x$微分后，可以在协态方程右边得到和$\lambda (t+1)$有关的算式。若写法有误，所得的协态方程不是后向的差分方程，会带来错误的结果。）

控制哈密顿量和力学哈密顿量的比较

威廉·哈密顿定义力学中的哈密顿量为三个变数的函数：

${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(p,q,t)=\langle p,{\dot {q}}\rangle -L(q,{\dot {q}},t)$

其中${\dot {q}}$定义如下

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$

哈密顿再将方程改为

${\frac {d}{dt}}p(t)=-{\frac {\partial }{\partial q}}{\mathcal {H}}$

${\frac {d}{dt}}q(t)=~~{\frac {\partial }{\partial p}}{\mathcal {H}}$

最佳控制中的哈密顿量则是四个变数的函数：

$H(q,u,p,t)=\langle p,{\dot {q}}\rangle -L(q,u,t)$

其要有最大值的相关条件为

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$

${\frac {dq}{dt}}=~~{\frac {\partial H}{\partial p}}$

${\frac {\partial H}{\partial u}}=0$

上述定义和Sussmann及Willems论文所提的一致。Sussmann及Willems证明了控制哈密顿量可以用在动力学上，例如最速降线问题，不过没有提到康斯坦丁·卡拉西奥多里较早时期在此领域的贡献。

外部链接

• Varaiya, P. Lecture Notes on Optimization (PDF) 2nd. 1998 [2017-12-14]. （原始内容 (PDF)存档于2003-04-10）.