高斯磁定律

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。

卡尔·高斯

在电磁学里，高斯磁定律阐明，磁场（B场）的散度等于零。因此，磁场是一个螺线矢量场。从这事实，可以推断磁单极子不存在。磁的基本实体是磁偶极子，而不是磁荷。当然，假若将来科学家发现有磁单极子存在，那么，这定律就必须做适当的修改，如稍后论述。高斯磁定律是因德国物理学者卡尔·高斯而命名。

在物理学界，很多学者使用“高斯磁定律”来指称这定律，但并不是每一位学者都采用这名字。有些作者称它为“自由磁单极子缺失”，或明确地表示这定律没有取名字。还有些作者称此定律为“横向性要求”，因为在真空中或线性介质中传播的电磁波必须是横波。

理论方程形式

闭曲面与开放曲面示意图。左边是闭曲面例子，包括球面、环面和立方体面；穿过这些曲面的磁通量等于零。右边是开放曲面，包括圆盘面、正方形面和半球面；都具有边界（以红色显示），不完全围入三维体积。穿过这些曲面的磁通量不一定等于零。

高斯磁定律的方程可以写为两种形式：微分形式和积分形式。根据散度定理，这两种形式为等价的。

高斯磁定律的微分形式为

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!$ ；

其中，$\mathbf {B} \,\!$ 是磁感应强度。

这是麦克斯韦方程组中的一个方程。

高斯磁定律的积分形式为

$\oiint$${\mathbb {S} }$$\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {s} =0$

其中，$\mathbb {S} \,\!$ 是一个闭曲面，$\mathrm {d} \mathbf {s} \,\!$ 是微小面积分（请参阅曲面积分）。

这方程的左手边项目，称为通过闭曲面的净磁通量。高斯磁定律阐明这净磁通量永远等于零。

磁矢势

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根据亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition），因为磁场的散度等于零，必定存在有矢量场 $\mathbf {A} \,\!$ 满足条件

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!$ 。

这矢量场 $\mathbf {A} \,\!$ 称为磁矢势。

请注意并不是只有一个矢量场 $\mathbf {A} \,\!$ 满足这条件。实际上，有无限多个解答。应用一项矢量恒等式，

$\nabla \times (\nabla \phi )=0\,\!$ ，

给予任意函数 $\phi \,\!$ ，那么， $\mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \phi \,\!$ 也是一个解答。磁矢势的这种特性，称为规范自由。

磁场线

透过铁粉显示出的磁场线。将条状磁铁放在白纸下面，铺洒一堆铁粉在白纸上面，这些铁粉会依著磁场线的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点显示出磁场线的方向。

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磁场，就像任何矢量场，可以用场线来描绘其轨迹。磁场线是一组曲线，其方向对应于磁场的方向，其面密度与磁场的大小成正比。因为磁场的散度等于零，磁场线没有初始点，也没有终结点。磁场线或者形成一个闭循环，或者两个端点都延伸至无穷远。

磁单极子

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假若，有科学家发现磁单极子存在于宇宙，则高斯磁定律不正确，必须修正。磁场的散度会与磁荷密度 $\rho _{m}\,\!$ 成正比：

$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{m}\,\!$ 。

其中，$\mu _{0}\,\!$ 是磁常数。

毕奥-萨伐尔定律

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从毕奥-萨伐尔定律，可以推导出高斯磁定律。毕奥-萨伐尔定律阐明，设定电流密度 $\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,\!$ ，则磁场为

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\,\!$ ；

其中，$\mathbf {r} '\,\!$ 是源位置，$\mathbf {r} \,\!$ 是场位置，$\mathbb {V} '\,\!$ 是积分的体积，$d^{3}r'\,\!$ 是微小体积元素。

应用一项矢量恒等式，

${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\,\!$ ，

将这恒等式带入毕奥-萨伐尔方程。由于梯度只作用于无单撇号的坐标，可以移到积分外，改为旋度：

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!$ 。

应用一项矢量恒等式，

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0\,\!$ 。

所以，高斯磁定律成立：

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!$ 。

参阅

• 磁矩
• 安培力定律
• 毕奥-萨伐尔定律
• 电磁场的数学表述