迭代函数

在数学中，迭代函数^[1]是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。

定义

在集合 $X$ 上的迭代函数的形式定义为:

设 $X$ 是集合和 $f:X\rightarrow X$ 是函数。定义 $f$ 的 $n$ 次迭代 $f^{n}$ 为 $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ 而 $f^{n+1}=f\circ f^{n}$ ，这里的 $\operatorname {id} _{X}$ 是在 $X$ 上的恒等函数。

在上述中， $f\circ g$ 指示函数复合；就是说 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 。

换句话说，迭代函数也可以表示为以下的形式：

f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))

$f^{0}(x)$ 定义为 $x$ 。

$f^{-n}(x)$ 定义为 $f^{n}(x)$ 的反函数。（如果 $f^{n}(x)$ 的反函数不存在，则 $f^{-n}(x)$ 也不存在）

因此， $f^{1}(x)$ 就是 $f(x)$ ， $f^{2}(x)$ 是 $f(f(x))$ ， $f^{0}(x)$ 是恒等函数 $x$ ， $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数（如果存在的话），而 $f^{\frac {1}{2}}(x)$ 就是能够使得合成函数 $g(g(x))$ 正好是 $f(x)$ 的函数 $g(x)$ 。

注意，一般情况下， $f^{n}(x)$ 并不等于 $(f(x))^{n}$ 或 $f(x^{n})$ ，而例如 $\sin ^{-1}(x)$ 是 $\sin(x)$ 的反函数，亦即 $\arcsin(x)$ ，而不是 ${\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$ 。

例

一些特殊函数的幂次为（其中 $a$ 、 $b$ 、 $n$ 可为任意复数，亦即 $a,b,n\in \mathbb {C}$ ）：

$f(x)=a$ ， $f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0$ （在 $n$ 是负实数或虚数的时候并没有定义，就好比 $0^{n}$ 在 $n$ 是负实数或虚数的时候也没有定义）

$f(x)=x+a$ ， $f^{n}(x)=x+na$

$f(x)=ax$ ， $f^{n}(x)=a^{n}x$

$f(x)=x^{a}$ ， $f^{n}(x)=x^{a^{n}}$ （注意迭代幂次要由右往左算）

$f(x)=ax+b$ ， $f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$ （ $a\neq 1$ ）

$f(x)=bx^{a}$ ， $f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}$ （ $a\neq 1$ ）

（注意任何非零复数的任何复数次方都有定义： $a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))$ ，当 $a$ 为负实数或虚数时， $\ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)$ ，其中 $|a|$ 为复数 $a$ 的绝对值， ${\text{arg}}(a)$ 为复数 $a$ 的主幅角， ${\text{Re}}(a)$ 为复数 $a$ 的实部， ${\text{Im}}(a)$ 为复数 $a$ 的虚部）

函数幂亦有类似指数律的定理，其中 $m$ 、 $n$ 可为任意复数，亦即 $m,n\in \mathbb {C}$ ：

$f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)$

$(f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)$

注意函数的合成是不可交换的（ $gf(x)$ 并不一定等于 $fg(x)$ ）但因为可结合（ $h(gf)(x)$ 一定等于 $(hg)f(x)$ ），所以会符合幂结合性，因此这两条“函数幂的指数律”并没有任何问题。

这跟例如指数拓展到次方为负整数、分数、无理数、复数，以及阶乘运算跟排列组合运算 $P_{n}^{m}$ 、 $C_{n}^{m}$ 拓展到非整数和负数时（使用伽玛函数）一样，二项式定理也可以用这种方式拓展到负整数、分数、无理数、复数，只是会变成无穷级数而不再是有限级数而已，包括矩阵的 $n$ 次方以及微分 $n$ 次（ $n$ 为负整数时等同于积分 $-n$ 次），也都可以用这种方式，把 $n$ 拓展到任意复数，或例如已知“首项”、“公差/公比”、“项数”的等差数列或等比数列要求出全部项的和或乘积的公式，也都可以用这种方式，拓展到项数为负整数、分数、无理数、复数的情况（包括一般的 $\sum _{x=m}^{n}f(x)$ 与 $\prod _{x=m}^{n}f(x)$ 中， $f(x)$ 为常见的函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的时候， $m$ 跟 $n$ 也能拓展到任意复数，就跟积分式 $\int _{m}^{n}f(x)$ 一样），至于超运算 $a[n]b$ 能不能拓展到分数、无理数或复数，则是数学中未解决的问题之一。