曼德尔球

一个光线跟踪的3维曼德尔球图像
迭代于$z\mapsto z^{8}+c$

曼德尔球（Mandelbulb）是一个三维的曼德博集合的模拟，由丹尼尔·怀特和保罗·尼兰德采用球坐标构造。

因为没有复数的二维空间的三维类似物，因此不存在规范的三维曼德博集合。可以使用四元数的4个维度构建曼德博集合。然而，这样构建的集合不能和二维的那样在所有尺度上表现细节。

怀特和尼兰德关于三维矢量$\langle x,y,z\rangle$的$n$次方公式为

$\langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle$

其中

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\phi &=\arctan(y/x)=\arg(x+yi)\\{\rm {and\ }}\theta &=\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r).\end{aligned}}$

他们使用迭代$z\mapsto z^{n}+c$，其中“$z^{n}$”定义如上，“$+$”是矢量相加。当$n>3$，其结果是一个三维的球状物，有分形的表面和由参数$n$控制的叶子。他们的很多图形表现采用$n=8$的设置。

外部链接

• Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Several variants of the Mandelbulb, on Paul Nylander's website （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• An opensource fractal renderer that can be used to create images of the Mandelbulb （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Formula for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb by Jules Ruis （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb with examples of real 3D objects （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Video : View of the Mandelbulb （页面存档备份，存于互联网档案馆）