排容原理

三個集的情況

容斥原理（inclusion-exclusion principle）又称排容原理，在組合數學裏，其說明若$A_{1}$, ..., $A_{n}$ 為有限集，則 ${\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|={}&\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}$

其中$|A|$表示$A$的基數。例如在兩個集的情況時，我們可以通過將$|A|$和$|B|$相加，再減去其交集的基數，而得到其并集的基數。

描述

两个集合的容斥原理  

n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)

三个集合的容斥原理

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|

n个集合的容斥原理

      要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

最终得到公式：

${\begin{aligned}\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|={}&\sum _{i=1}^{n}|A_{i}|-\sum _{1\leq i<j\leq n}|A_{i}\cap A_{j}|+\sum _{1\leq i<j<k\leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}|-\cdots +(-1)^{n-1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|.\end{aligned}}$

又可写成

$\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\left(\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}|A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}}|\right)$

或

$\left|\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right|=\sum _{\emptyset \neq J\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|J|-1}{\Biggl |}\bigcap _{j\in J}A_{j}{\Biggr |}.$

概率论中的容斥原理

在概率论中，对于概率空间$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$中的事件A₁，……，A_n，当n = 2时容斥原理的公式为：

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}),$

当n = 3时，公式为：

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})=\mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})+\mathbb {P} (A_{3})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})-\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{3})-\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{3})+\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})$

一般地：

$\mathbb {P} {\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})-\sum _{i,j\,:\,i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})+\sum _{i,j,k\,:\,i<j<k}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k})-\ \cdots \ +(-1)^{n-1}\,\mathbb {P} {\biggl (}\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )},$

也可以写成：

$\mathbb {P} {\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum _{\scriptstyle I\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |I|=k}\mathbb {P} (A_{I}),$

对于一般的测度空间(S,Σ,μ)和有限测度的可测子集A₁，……，A_n，上面的恒等式也成立，如果把概率测度$\mathbb {P}$换为测度μ。

特殊情况

如果在容斥原理的概率形式中，交集A_I的概率只与I中元素的个数有关，也就是说，对于{1, ..., n}中的每一个k，都存在一个a_k，使得：

$a_{k}=\mathbb {P} (A_{I})$，对于每一个$I\subset \{1,\ldots ,n\}\,\,(|I|=k),$

则以上的公式可以简化为：

$\mathbb {P} {\biggl (}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr )}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}a_{k}$

这是由于二项式系数$\scriptstyle {\binom {n}{k}}$的组合解释。

类似地，如果对有限集合A₁，……，A_n的并集的元素个数感兴趣，且对于{1, ..., n}中的每一个k，交集

$A_{I}:=\bigcap _{i\in I}A_{i}$

的元素个数都相同，例如a_k = |A_I|，与{1, ..., n}的k元素子集I无关，则：

${\biggl |}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}{\biggr |}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}a_{k}\,.$

在一般的测度空间(S,Σ,μ)和有限测度的可测子集A₁，……，A_n的情况中，也可以进行类似的简化。

容斥原理的证明

欲证明容斥原理，我们首先要验证以下的关于指示函数的等式：

$1_{\cup _{i=1}^{n}A_{i}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\sum _{\scriptstyle I\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |I|=k}1_{A_{I}}\qquad (*)$

至少有两种方法来证明这个等式：

第一种方法 我们只需证明对于A₁，……，A_n的并集中的每一个x，等式都成立。假设x正好属于m个集合（1 ≤ m ≤ n），不妨设它们为A₁，……，A_m。则x处的等式化为：

$1=\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k-1}\sum _{\scriptstyle I\subset \{1,\ldots ,m\} \atop \scriptstyle |I|=k}1.$

m元素集合中的k元素子集的个数，是二项式系数$\textstyle {\binom {m}{k}}$ 的组合解释。由于$\textstyle 1={\binom {m}{0}}$ ，我们有：

${\binom {m}{0}}=\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k-1}{\binom {m}{k}}.$

把所有的项移到等式的左端，我们便得到(1 – 1)^m的二项式展开式，因此可以看出，(*)对x成立。

第二种方法 设A表示集合A₁，……，A_n的并集。于是：

$0=(1_{A}-1_{A_{1}})(1_{A}-1_{A_{2}})\cdots (1_{A}-1_{A_{n}})\,,$

这是因为对于不在A内的x，两边都等于零，而如果x属于其中一个集合，例如A_m，则对应的第m个因子为零。把右端的乘积展开来，便可得到等式(*)。

归纳法证明

设：S₁= n (A₁)+n (A₂)+n (A₃) +…...+n (A_n)

S₂= n(A₁∩A₂)+ n(A₁∩A₃) …...+ n(A₁∩A_n)+ n(A₂∩A₃)+ …...+n(A_n-1∩An)

S₃= n(A₁∩A₂∩A₃)+ ……+ n(A_n-2∩A_n-1∩An)_……

S_n =n(A₁∩A₂∩A₃∩……∩A_n)

求证：A=n(A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_n)= S₁-S₂+ S₃+……+(-1)^n-1S_n

证明：当n=2时，A=n(A₁∪A₂)=n(A₁)+n(A₂) -n(A₁∩ A₂)= S₁-S₂

假设：当n=k(k>=2)时，A=n (A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_k)= S₁-S₂+ S₃+……+(-1)^k-1S_k 等式成立。

当n=k+1时，

A= n( (A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_k) ∪A_k+1)

= n (A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_k)+n(A_k+1)-n((A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_k) ∩A_k+1)

= n (A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_k) +n(A_k+1)-n((A₁∩A_k+1) ∪(A₂∩A_k+1) ∪(A₃∩A_k+1) ∪ …∪(A_k∩A_k+1))

∵ 当n=k时，等式成立

∴A= n (A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_k) +n(A_k+1)-(n (A₁∩A_k+1)+ n (A₂∩A_k+1)+ ……+n(A_k∩A_k+1)-n(A₁∩A₂∩A_k+1)-n(A₁A₃∩A_k+1) -……- n(A_k-1∩A_k∩A_k+1)+ ……+(-1)^k.n(A₁∩A₂∩A₃∩∪……∩A_k+1)

   = S₁-S₂+ S₃+……+(-1)^k-1S_k+n(A_k+1)-(n (A₁∩A_k+1)+ n (A₂∩A_k+1)+ ……+n(A_k∩A_k+1)-n(A₁∩A₂∩A_k+1)-n(A₁∩A₃∩A_k+1) -……- n(A_k-1∩A_k∩A_k+1)+ ……+(-1)^k.n(A₁∩A₂∩A₃∩∪……∩A_k+1)

    = S₁-S₂+ S₃+……+(-1)^kS_k+1

综上所述，当n>=2时,n (A₁∪A₂∪A₃∪A₄……∪A_n)

= n (A₁)+n (A₂)+n (A₃) ……+ n (A_n)-n(A₁∩A₂)- n(A₁∩A₃) ……- n(A₁∩A_n)- n(A₂∩A₃)- ……-n(A_n-1∩An)+n(A₁∩A₂∩A₃)+ n(A₁∩A₂∩A₃)+ ……+ n(A_n-2∩A_n-1∩An)- ……+……+(-1)^n-1.n(A₁∩A₂∩A₃∩……∩A_n)

其它形式

有时容斥原理用以下的形式来表述：如果

$g(A)=\sum _{S\,:\,S\subseteq A}f(S)$

那么：

$f(A)=\sum _{S\,:\,S\subseteq A}(-1)^{\left|A\right|-\left|S\right|}g(S)$

在这种形式中可以看出，它是A的所有子集的偏序集合的指标代数的莫比乌斯反演公式。

应用

在许多情况下，容斥原理都可以给出精确的公式（特别是用埃拉托斯特尼筛法计算素数的个数时），但是用处不大，这是因为它里面含有的项太多。即使每一个单独的项都可以准确地估计，误差累积起来仍然意味着容斥原理不能直接应用。在数论中，这个困难由维戈·布朗解决。开始时进展很慢，但他的想法逐渐被其他数学家所应用，于是便产生了许多各种各样的筛法。这些方法是尝试找出被“筛选”的集合的上界，而不是一个确切的公式。

错排

容斥原理的一个著名的应用，是计算一个有限集合的所有乱序排列的数目。一个集合A的错排，是从A到A的没有不动点的双射。通过容斥原理，我们可以证明，如果A含有n个元素，则乱序排列的数目为[n! / e]，其中[x]表示最接近x的整数。

这也称为n的子阶乘，记为!n。可以推出，如果所有的双射都有相同的概率，则当n增大时，一个随机双射是错排的概率迅速趋近于1/e。

交集的计算

容斥原理与德·摩根定理结合起来，也可以用于计算集合的交集中元素的数目。设$\scriptstyle {\overline {A}}_{k}$表示A_k关于全集A的补集，使得对于每一个k，都有$\scriptstyle A_{k}\,\subseteq \,A$。于是，我们有：

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}={\overline {\bigcup _{i=1}^{n}{\overline {A}}_{i}}}$

这样便把计算交集的问题化为计算并集的问题。

参见

• 其他组合原理，如：
  • 乘法原理
  • 抽屜原理
• 布尔不等式
• 项链问题
• 许特-内斯比特公式
• 最大-最小恒等式

拓展阅读

• http://cs.tju.edu.cn/faculty/zhangkl/teaching/comb/lec09.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• http://blog.sina.com.cn/s/blog_6be9596c0100miag.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• http://e-maxx.ru/algo/inclusion_exclusion_principle （页面存档备份，存于互联网档案馆） （页面存档备份，存于互联网档案馆）（俄文） 中文翻译：http://www.cppblog.com/vici/archive/2011/09/05/155103.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考文献

• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes - Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type, Springer-Verlag, 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Stasys Jukna: Extremal Combinatorics, Springer, 2001, ISBN 3-540-66313-4.
• http://blog.csdn.net/xianglunxi/article/details/9310105 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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