1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

數學上，發散級數：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!$

是被歐拉首次研究，他應用重求和方法給級數賦予一個有限的值。此級數是被交替加減的階乘之總和。要給發散級數賦值，其中一個方法是用鮑萊耳和，其型式上寫成：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx$

若我們對總和和積分進行轉乘（忽略兩者其實都是不收斂的），將得到：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx$

在中括號中的總和收斂，並等於1/(1 + x)，若x < 1。若我們繼續對所有實數x分析1/(1 + x)，可以得到收斂積分的總和：

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots$

此處的$E_{1}(z)$是指數積分。這是根據鮑萊耳和對級數的定義。

結果

若k為前十個值，其結果如下：

k	增量 計算	增量	結果
0	1 · 0! = 1 · 1	1	1
1	−1 · 1	−1	0
2	1 · 2 · 1	2	2
3	−1 · 3 · 2 · 1	−6	−4
4	1 · 4 · 3 · 2 · 1	24	20
5	−1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−120	−100
6	1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	720	620
7	−1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−5040	−4420
8	1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	40320	35900
9	−1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1	−362880	−326980

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參考資料

• Euler, L., De seriebus divergentibus (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 1760, (5): 205–237 [2014-03-13], （原始內容存檔於2013-09-26）