蒙哥馬利算法
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在模算數領域，蒙哥馬利模乘(Montgomery modular multiplication)、蒙哥馬利乘算(Montgomery multiplication)是一種快速大數（通常是幾百個二進位）模乘算法， 由彼得·蒙哥馬利在1985年提出。[1][2]
一般以傳統方式計算模乘 ab mod N 時，是將乘積 ab 除以 N 並取餘數，然而除法需要相當消耗時間的商數位估算和校正。因此蒙哥馬利模乘引入了一種特殊的數字表達形式「蒙哥馬利型(Montgomery form)」。將 a 與 b 轉化為蒙哥馬利型後，計算在蒙哥馬利型下的 ab mod N。令 R > N 為一整數常數且與 N 互質，在計算蒙哥馬利演算法的過程中，唯一必要的除法就僅為除以 R。而此常數 R 是可以設計為容易進行除法的。以實務來說，R 通常會設為 2 的冪次方，如此一來，除法就僅僅需要進行移位。
單次的蒙哥馬利模乘因為需要將 a 與 b 轉化為蒙哥馬利型，速度上可能反而不及傳統方法以及巴雷特約減。然而，當我們需要進行連續乘法時（例如模冪(modular exponentiation)運算），其優勢就會展現出來：只有在連續乘法起始與結束時需要進行蒙哥馬利型轉化，而過程中所產生的中間值可以一直維持在蒙哥馬利型的狀態。相較於連乘，轉化的時間花費在整個過程中就相對微小許多。
諸多的密碼系統如 RSA 與 迪菲-赫爾曼密鑰交換 都是基於在一個很大的奇數模上做運算。對這些演算法來說，使用 R 為二的次方的蒙哥馬利乘算是非常有效率的一種做法。[3]
蒙哥馬利約減
[編輯]參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Montgomery, Peter. Modular Multiplication Without Trial Division (PDF). Mathematics of Computation. April 1985, 44 (170): 519–521 [2023-10-03]. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777282-X
. （原始內容存檔 (PDF)於2023-05-30）.
- ^ Martin Kochanski, "Montgomery Multiplication" 網際網路檔案館的存檔，存檔日期2010-03-27. a colloquial explanation.
- ^ Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot, and Scott A. Vanstone. Handbook of Applied Cryptography （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. CRC Press, 1996. ISBN 0-8493-8523-7, chapter 14.
- Martin Kochanski, Montgomery Multiplication A colloquial explanation.
- Analyzing and Comparing Montgomery Multiplication Algorithms