艾倫伯格–麥克萊恩空間

數學中，特別是代數拓撲中，艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有單一非平凡同倫群的拓撲空間。

令G為群，n為正整數。連通拓撲空間X的第n同倫群 $\pi _{n}(X)$ 若同構於G、其他同倫群都平凡，則稱X是 $K(G,n)$ 型艾倫伯格–麥克萊恩空間。設G在 $n>1$ 時是阿貝爾群，則 $K(G,n)$ 型艾倫伯格–麥克萊恩空間總存在，且都是弱同倫等價的。因此，可以認為 $K(G,n)$ 指空間的弱同倫等價類。通常將任何表示稱作「一個 $K(G,n)$ 」或「 $K(G,n)$ 的模型」，此外通常假定這空間是CW復形（通過CW近似總是可能的）。

艾倫伯格–麥克萊恩空間得名於塞繆爾·艾倫伯格與桑德斯·麥克萊恩，他們在1940年代末引入了此類空間。

因此，艾倫伯格–麥克萊恩空間是一類特殊的拓撲空間，在同倫論中可視作通過波斯尼科夫塔中的纖維化構建CW復形的物件。這些空間在代數拓撲的很多方面都十分重要，如球面同倫群的計算、上同調運算的定義及與奇異上同調的緊密聯繫。廣義艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有艾倫伯格–麥克萊恩空間 $\prod _{m}K(G_{m},m)$ 的拓撲積的同倫類的空間。

例子

單位圓 $S^{1}$ 是 $K(\mathbb {Z} ,1)$ 。
無窮維復射影空間 $\mathbb {CP} ^{\infty }$ 是 $K(\mathbb {Z} ,2)$ 的模型。
無窮維實射影空間 $\mathbb {RP} ^{\infty }$ 是 $K(\mathbb {Z} /2,1)$ 。
k個單位圓的楔和 $\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}$ 是 $K(F_{k},1)$ ，其中 $F_{k}$ 是k個生成子上的自由群。
3維球 $S^{3}$ 中任何連通結或圖的補是 $K(G,1)$ 型，這種現象被稱作「結的非球面性」，是赫里斯托斯·帕帕基里亞科普洛斯於1957年提出的定理。^[1]
緊連通曲率非正流形M是 $K(\Gamma ,1)$ ，其中 $\Gamma =\pi _{1}(M)$ 是M的基本群。這是嘉當–阿達馬定理的結果。
無限透鏡空間 $L(\infty ,q)$ 由 $S^{\infty }$ 對自由作用 $(z\mapsto e^{2\pi im/q}z)$ （ $m\in \mathbb {Z} /q$ ）的商給出，是 $K(\mathbb {Z} /q,1)$ 。這可以用覆疊空間理論和無窮維球體可收縮來證明。^[2]注意這包括作為 $K(\mathbb {Z} /2,1)$ 的 $\mathbb {RP} ^{\infty }$ 。
平面上n個點的構型空間是 $K(P_{n},1)$ ，其中 $P_{n}$ 是n股上的純辮群。
相應地， $\mathbb {R} ^{2}$ 的第n無序構型空間是 $K(B_{n},1)$ ，其中 $B_{n}$ 表示n股辮群。^[3]
n球的無窮對稱積 $SP(S^{n})$ 是 $K(\mathbb {Z} ,n)$ 。更一般地， $SP(M(G,n))$ 對所有摩爾空間 $M(G,n)$ 是 $K(G,n)$ 。

利用積 $K(G,n)\times K(H,n)$ 是 $K(G\times H,n)$ 的事實，可構造出更多基本例子，例如n維環面 $\mathbb {T} ^{n}$ 是 $K(\mathbb {Z} ^{n},1)$ 。

關於構造艾倫伯格–麥克萊恩空間的備註

對 $n=1$ 、任意群G， $K(G,1)$ 的構造與G的分類空間的構造相同。注意若G含扭元（torsion element），則K(G,1)型CW復形都是無窮維的。

構造高階艾倫伯格-麥克萊恩空間有很多技術，如為阿貝爾群A構造摩爾空間 $M(A,n)$ ：取n個球的楔，每個球代表一個A的生成子，並通過上述楔和的 $\pi _{n}(\bigvee S^{n})$ 中相應映射附加(n+1)個胞腔（cell），實現生成子之間的關係。注意低階同倫群 $\pi _{i<n}(M(A,n))$ 由構造是平凡的。現在通過附加大於 $n+1$ 維的胞腔，迭代殺死所有高階同倫群 $\pi _{i>n}(M(A,n))$ ，並定義 $K(A,n)$ 為包含此迭代的直極限。

另一個有用技巧是運用單純阿貝爾群的幾何實現。^[4]這給出了代表艾倫伯格-麥克萊恩空間的單純阿貝爾群的明確表述。

喬·彼得·梅的書^[5]從分類空間與通用叢角度給出了另一種簡單構造。

由於閉路空間將同倫群降低了一圈（slot），我們有規範同倫等價 $K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)$ ，因此有纖維化序列

K(G,n)\to *\to K(G,n+1)

.

注意這不是上纖維化序列：空間 $K(G,n+1)$ 不是 $K(G,n)\to *$ 的同倫上纖維。

這個纖維化序列可用於從 $K(G,n)$ 用勒雷譜序列研究 $K(G,n+1)$ 的上同調，讓-皮埃爾·塞爾在利用波斯尼科夫塔和譜序列研究球面同倫群時利用了這一點。

性質

映射與上同調的同倫類間的雙射

$K(G,n)$ 的一個重要性質是，對任何阿貝爾群G、任何基CW復形X，X到 $K(G,n)$ 的基映射的基同倫類集 $[X,K(G,n)]$ ，同空間X的第n奇異上同調群 $H^{n}(X,G)$ 是自然雙射。因此可以說 $K(G,n)'s$ 是係數在G中的奇異上同調的表示空間。由於

{\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}

有一個區別元素 $u\in H^{n}(K(G,n),G)$ ，對應么元。上述雙射由元素的拉回 $f\mapsto f^{*}u$ 給出，這與範疇論中的米田引理很相似。

此定理的構造性證明可見參考文獻^[6]，另一個利用Omega譜與廣義既約上同調關係的證明可見參考文獻^[7]，主要思想也將在後面略述。

閉路空間/Omega譜

艾倫伯格–麥克萊恩空間的閉路空間還是艾倫伯格–麥克萊恩空間： $\Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)$ 。此外，在閉路空間與既約緯懸之間還有伴隨關係： $[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]$ ，使 $[X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]$ 有阿貝爾群的結構，其中的運算是閉路的連結。這使得上面提到的雙射 $[X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)$ 是群同構。

這個性質還意味著不同n的艾倫伯格–麥克萊恩空間構成Omega譜，稱作艾倫伯格–麥克萊恩空間譜。這個譜通過 $X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]$ 定義了基於CW復形的既約上同調論，對任何CW復形上的既約上同調論 $h^{*}$ （ $h^{n}(S^{0})=0$ ， $n\neq 0$ ），有自然同構 $h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})$ ，其中 ${\tilde {H^{*}}}$ 表示既約奇異上同調。因此，這兩個上同調論重合。

在更廣義的語境中，布朗可表性定理指出，基CW復形上的既約上同調論來自Omega譜。

與同調的關係

對給定阿貝爾群G，有穩定同倫群

\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))

上由映射 $\Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)$ 導出的映射。取它們的直極限，可驗證這在CW復形上定義了既約同調論

h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))

由於 $h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))$ （ $q\neq 0$ ）為零， $h_{*}$ 與CW復形上係數在G中的既約奇異同調 ${\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)$ 一致。

函子性

從上同調的萬有係數定理可以看出，艾倫伯格–麥克萊恩空間是群的准函子，即對每個正整數n，若 $a\colon G\to G'$ 是阿貝爾群的任何同態，則有非空集

K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},

滿足 $K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),$

其中 $[f]$ 表示連續映射f、 $S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}$ 的同倫類。

與波斯尼科夫/懷特海塔的關係

連通CW復形X都有波斯尼科夫塔，即空間的逆系：

\cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)

使對每個n都有：

有交換映射 $X\to X_{n}$ ，導出 $\pi _{i}$ （ $i\leq n$ ）上的同態；
$\pi _{i}(X_{n})=0$ （ $i>n$ ）；
映射 $X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}$ 是具有纖維 $K(\pi _{n}(X),n)$ 的纖維化。

對偶地，還有懷特海塔，是CW復形的序列：

\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X

使對每個n都有：

映射 $X_{n}\to X$ 導出 $\pi _{i}$ （ $i>n$ ）上的同態；
$X_{n}$ 是n連通的；
映射 $X_{n}\to X_{n-1}$ 是具有纖維 $K(\pi _{n}(X),n-1)$ 的纖維化。

在塞爾譜序列的幫助下，可計算出球面的高階同倫群。例如， $\pi _{4}(S^{3})$ 、 $\pi _{5}(S^{3})$ 用 $S^{3}$ 的懷特海塔，可見參考文獻^[8]；更一般地說，使用波斯尼科夫系統的 $\pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3$ 可見參考文獻。 ^[9]

上同調運算

對不變的自然數m,n、阿貝爾群G,H ，存在所有上同調運算集 $\Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)$ 與 $H^{n}(K(G,m),H)$ 之間的雙射，定義為 $\Theta \mapsto \Theta (\alpha )$ （ $\alpha \in H^{m}(K(G,m),G)$ 是基本類）。

因此，上同調運算不能降低同調群的度，保度上同調運算對應係數同態 $\operatorname {Hom} (G,H)$ 。這源於上同調的萬有係數定理與 $K(G,m)$ 的(n-1)連通性。

$G=H$ 是有限循環群時，上同調運算的一些有趣例子是斯廷羅德平方與冪。研究這些時，係數在 $\mathbb {Z} /p$ 中的 $K(\mathbb {Z} /p,n)$ 的上同調變得非常重要，^[10]有關這些組別的詳細列表，請參此處。^[11]

群（上）同調

可以定義群G的係數在群A中的（上）同調為艾倫伯格–麥克萊恩空間 $K(G,1)$ 的奇異（上）同調，係數在A中。

進一步應用

上述閉路空間構造在弦論中用於得到弦群等等，如由短正合列

0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0

產生的懷特海塔，其中 ${\text{String}}(n)$ 是弦群， ${\text{Spin}}(n)$ 是旋量群。 $K(\mathbb {Z} ,2)$ 的相關性在於存在分類空間 $B\mathbb {Z}$ （且 $K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)$ ）的同倫等價關係

K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z}

注意，由於復旋量群是群擴張

0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0

,

弦群在高階群理論中可看做「高階」復旋量群的擴張，因為空間 $K(\mathbb {Z} ,2)$ 就是高階群的一個例子。它可看做是對象為單點、態射為群 $U(1)$ 的廣群 $\mathbf {B} U(1)$ 的拓撲實現。由於這些同倫性質，這個構造可以推廣：任何給定空間 $K(\mathbb {Z} ,n)$ 都可以用來啟動一個短正合列，可在拓撲群中去除同倫群 $\pi _{n+1}$ 。