等M圓及等N圓

藍色的是開迴路傳遞函數$G(s)=1/(s+0.5)$的奈奎斯特圖，上面也放了等M圓及等N圓。M = 0.45的等M圓以紅色表示，和奈奎斯特圖相交於$\omega \approx \pm 1.64$的頻率

等M圓及等N圓（M-circles and N-circles）英文也稱為是Hall circles，是控制理論中利用開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖（或尼柯爾斯圖）來求得其閉迴路傳遞函數數值的繪圖工具。此作法最早是由Albert C. Hall在其控制理論的論文中提出。

建構方式

考慮閉迴路線性控制系統，其開迴路傳遞函數為$G(s)$，反饋路徑的增益為1。其閉迴路傳遞函數為${\textstyle T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}}$。

若要確認T(s)的穩定性，可以用開迴路傳遞函數G(s)的奈奎斯特圖配合奈奎斯特穩定判據來確認。不過若只靠奈奎斯特圖，無法知道T(s)的數值。為了要在G(s)平面上得到這些資訊，Hall在G(s)平面加上了使T(s)有固定大小以及有固定相位的二組曲線。

假設一正值M表示固定的大小，令G(s)為z，滿足$$M=|T(s)|={\frac {|G(s)|}{|1+G(s)|}}={\frac {|z|}{|1+z|}}$$的點是那些在G(s)平面上和0的距離以及和-1的距離比例為M倍的點。這些符合條件的點z的軌跡為阿波羅尼斯圓，在控制系統中稱為等M圖。

若假設一正值N表示相位角，滿足$$N=\arg \left[{\frac {G(s)}{1+G(s)}}\right]=\arg[G(s)]-\arg[1+G(s)]=\arg[z]-\arg[1+z]$$的點。滿足此條件的點z的軌跡為圓弧，在控制系統中稱為等N圖。

用法

傳遞函數1/s(1+s)(1+2s)的尼柯爾斯圖，以及調整後的等M圓及等N圓

若要使用此方法，會在開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖上重疊不同數值的等M圓及等N圓，根據傳遞函數和等M圓及等N圓的交點即知道閉迴路傳遞函數的大小及相位。

等M圓及等N圓也可以和尼柯爾斯圖一起使用，不過等M圓及等N圓會進行坐標轉換，其縱軸會是$20\log _{10}(|G(s)|)$，橫軸是$\arg(G(s))$。尼柯爾斯圖的好處是調整開迴路傳遞函數時，只要將曲線往上移即可。

相關條目

• 奈奎斯特圖
• 尼柯爾斯圖

參考資料

• Katsuhiko, Ogata. Modern control engineering 4th. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002. ISBN 0130609072. OCLC 46619221. 
• S., Nise, Norman. Control systems engineering 5th. Hoboken, NJ: Wiley. 2008 [2018-12-28]. ISBN 9780471794752. OCLC 154798791. （原始內容存檔於2009-02-07）.