拉普拉斯-德拉姆算子

我們可以在微分流形的外代數上定義一個拉普拉斯微分算子。在黎曼流形上它是一個橢圓型算子，而在洛倫茲流形上是雙曲型的。拉普拉斯–德拉姆算子（Laplace-de Rham operator）定義為

\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;

這裡 d 是外導數而 δ 是余微分。當作用在數量函數上，余微分可以定義為 δ = − $*$ d $*$ ，這裡 $*$ 是霍奇星算子；更一般地，余微分可能包含與所作用的 k-形式的階數有關的一個符號。

可以證明拉普拉斯–德拉姆算子作用在數量函數 f 上時與前面的拉普拉斯–貝爾特拉米算子定義相同；細節參見證明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事實上是負拉普拉斯–貝爾特拉米算子；這個符號來自定義余微分的習慣。不幸的是，兩者都用 Δ 表示，經常成為混亂之源。

性質

給定數量函數 f 與 h，以及一個實數 a，拉普拉斯–德拉姆算子有如下性質：