布拉菲晶格

在幾何學以及晶體學中，布拉菲晶格（又譯布拉菲點陣）(Bravais lattices)是為了紀念法國物理學家奧古斯特·布拉菲而命名的。是三維空間中由一個或多個原子所組成的基底所形成的無限點陣，每個晶格點上都能找到這樣同樣的基底，或者說定向移動整數倍到另一個點時也能找到同樣的基底，因此晶格在任何一個晶格點上看起來都完全一樣。三維布拉菲晶格只有14種可能。

如果兩個布拉菲晶格具有同構對稱群，則通常認為它們是等價的。從這個意義上講，在 2 維空間中存在 5 種可能的布拉菲晶格，在 3 維空間中存在 14 種可能的布拉菲晶格。布拉菲晶格的 14 個可能的對稱群是 230 個空間群中的 14 個。在空間群分類的背景下，布拉菲晶格也稱為"布拉菲類"、"布拉菲算術類"或"布拉菲聚類"(Bravais flocks)^[1]。

布拉菲晶格的發展

這14種布拉菲晶格可分成7種晶系，每種晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6種晶格：

簡單（P）：晶格點只在晶格的八個頂點處
體心（I）：除八個頂點處有晶格點外，晶胞中心還有一個晶格點
面心（F）：除八個頂點處有晶格點外，在六個面的中央還有一個晶格點
底心（A，B或C）：除八個頂點處有晶格點外，在晶胞的一組平行面（A，B或C）的每個面中央還有一個晶格點

7種不同晶系與每種晶系的6種不同晶格共有7 × 6 = 42種組合，但是有些組合其實是相同的，都能組成14種布拉菲晶格。例如，單斜晶系的體心晶格可以通過單斜晶系的底心（C）晶格選擇不同的晶軸得到，所以這兩種其實是同一種；同樣，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相當於底心（C）或簡單（P）晶格。因此，去除相同的組合，可以得到14種不同的布拉菲晶格，列於下表（晶格圖下方是代表該布拉菲晶格的皮爾遜符號，表中空白的格表示於已有的晶格重複）：

晶系	點陣常數特徵	布拉菲晶格
晶系	點陣常數特徵	簡單（P）	底心（C）	體心（I）	面心（F）
三斜晶系	a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°
單斜晶系	a≠b≠c，α=γ=90°≠β
斜方晶系（正交晶系）	a≠b≠c，α=β=γ=90°
四方晶系	a=b≠c，α=β=γ=90°
三方晶系（棱方晶系）	a=b=c，α=β=γ≠90°
六方晶系	a=b≠c，α=β=90º，γ=120°
等軸晶系（立方晶系）	a=b=c，α=β=γ=90°

每一個單位晶格的體積可以由 $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 計算得知。其中 $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ ,和 $\mathbf {c}$ 是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下：

晶系	體積
三斜晶系	$abc{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}$
單斜晶系	$abc\sin \alpha$
斜方晶系	$abc$
四方晶系	$a^{2}c$
三方晶系	$a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\alpha +2\cos ^{3}\alpha }}$
六方晶系	${\frac {{\sqrt {3\,}}\,a^{2}c}{2}}$
等軸晶系	$a^{3}$