雙線性插值

雙線性插值，又稱為雙線性內插。在數學上，雙線性插值是對線性插值在二維直角網格上的擴展，用於對雙變量函數（例如 x 和 y）進行插值。其核心思想是在兩個方向分別進行一次線性插值。

算法

假如我們想得到未知函數 f 在點 $P=\left(x,y\right)$ 的值，假設我們已知函數 f 在 $Q_{11}=\left(x_{1},y_{1}\right)$ , $Q_{12}=\left(x_{1},y_{2}\right)$ , $Q_{21}=\left(x_{2},y_{1}\right)$ , 及 $Q_{22}=\left(x_{2},y_{2}\right)$ 四個點的值。

首先在 x 方向進行線性插值，得到

{\begin{aligned}f(x,y_{1})&\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21}),\\f(x,y_{2})&\approx {\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22}).\end{aligned}}

然後在 y 方向進行線性插值，得到

{\begin{aligned}f(x,y)&\approx {\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{1})+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}f(x,y_{2})\\&={\frac {y_{2}-y}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\right)+{\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\right)\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\big (}f(Q_{11})(x_{2}-x)(y_{2}-y)+f(Q_{21})(x-x_{1})(y_{2}-y)+f(Q_{12})(x_{2}-x)(y-y_{1})+f(Q_{22})(x-x_{1})(y-y_{1}){\big )}\\&={\frac {1}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})}}{\begin{bmatrix}x_{2}-x&x-x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(Q_{11})&f(Q_{12})\\f(Q_{21})&f(Q_{22})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{2}-y\\y-y_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

注意此處如果先在 y 方向插值、再在 x 方向插值，其結果與按照上述順序雙線性插值的結果是一樣的。

單位正方形

如果選擇一個坐標系統使得 f 的四個已知點坐標分別為 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那麼插值公式就可以化簡為

f(x,y)\approx f(0,0)\,(1-x)(1-y)+f(1,0)\,x(1-y)+f(0,1)\,(1-x)y+f(1,1)xy.

或者用矩陣運算表示為

f(x,y)\approx {\begin{bmatrix}1-x&x\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1-y\\y\end{bmatrix}}

非線性

顧名思義，雙線性插值的結果不是線性的，它是兩個線性函數的積。在單位正方形上，雙線性插值可以記作

f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy

常數的數目（四）對應於給定的 f 的數據點數目

a_{00}=f(0,0),

a_{10}=f(1,0)-f(0,0),

a_{01}=f(0,1)-f(0,0),

a_{11}=f(1,1)+f(0,0)-{\big (}f(1,0)+f(0,1){\big )}.

雙線性插值的結果與插值的順序無關。首先進行 y 方向的插值，然後進行 x 方向的插值，所得到的結果是一樣的。

雙線性插值的一個顯然的三維空間延伸是三線性插值。

在圖像處理領域的應用

在計算機視覺及圖像處理領域，雙線性插值是一種基本的重採樣技術。

材質貼圖中，雙線性插值也叫雙線性過濾或者雙線性材質貼圖。圖像的雙線性插值放大算法中，目標圖像中新創造的象素值，是由源圖像位置在它附近的2*2區域4個鄰近象素的值通過加權平均計算得出的。雙線性內插值算法放大後的圖像質量較高，不會出現像素值不連續的的情況。然而此算法具有低通濾波器的性質，使高頻分量受損，所以可能會使圖像輪廓在一定程度上變得模糊。

參見