信號-量化雜訊比

在信號量化時，會產生量化誤差，信號－量化雜訊比（英語：Signal-to-quantization-noise ratio，SQNR或SN_qR）是信號能量對量化雜訊能量之比值，用以度量量化之效能，通常使用分貝表示。

信號－量化雜訊比公式由通用信噪比公式導出:

$\mathrm {SNR} ={\frac {3\times 2^{2n}}{1+4P_{e}\times (2^{2n}-1)}}{\frac {m_{m}(t)^{2}}{m_{p}(t)^{2}}}$

其中：

$P_{e}$是接收到比特差錯的概率

$m_{p}(t)$為峰值消息信號電平

$m_{m}(t)$為平均消息信號電平

由於SQNR適用於量化信號，因此SQNR公式中的信號為離散時間數位訊號，所有我們將使用數位化信號$x(n)$代替$m(t)$。對於$N$個量化層級的取樣，每個取樣$x$需要$\nu =\log _{2}N$個位元。$x$中值的分布可以用概率密度函數$f(x)$來表示。任意$x$的最大幅度值用$x_{max}$表示。

由於信號-量化雜訊比和一般的信噪比一樣，是信號功率與某噪聲功率的比值，因此可以用如下公式計算：

$\mathrm {SQNR} ={\frac {P_{signal}}{P_{noise}}}={\frac {E[x^{2}]}{E[{\tilde {x}}^{2}]}}$

信號功率為：

${\overline {x^{2}}}=E[x^{2}]=P_{x^{\nu }}=\int _{}^{}x^{2}f(x)dx$

量化噪聲功率可以表示為：

$E[{\tilde {x}}^{2}]={\frac {x_{max}^{2}}{3\times 4^{\nu }}}$

可求出：

$\mathrm {SQNR} ={\frac {3\times 4^{\nu }\times {\overline {x^{2}}}}{x_{max}^{2}}}$

當SQNR需要以分貝為單位表示時，一個有意義的近似值是：

$\mathrm {SQNR} |_{dB}=P_{x^{\nu }}+6.02\nu +4.77$

其中$\nu$是量化取樣的位元數，$P_{x^{\nu }}$是上面所計算的信號功率。從這個公式不難看出，當量化取樣的位元數增加1時，SQNR將會增加大約6（$20\times log_{10}(2)$）分貝。

參考書籍

• B. P. Lathi , Modern Digital and Analog Communication Systems (3rd edition), Oxford University Press, 1998

外部連結

• Signal to quantization noise in quantized sinusoidal （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - Analysis of quantization error on a sine wave