伯努利雙紐線

伯努利雙紐線

在數學中, 伯努利雙紐線是由平面直角坐標系中的以下方程定義的平面代數曲線 ：

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2}).$

曲線的形狀類似於打橫的阿拉伯數字 8 或者無窮大的符號 $\infty$，屬於雙紐線。

關於伯努利雙紐線的描述首見於1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理。橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡。而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡。當此定值使得軌跡經過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線。

伯努利將這種曲線稱為lemniscus, 為拉丁文中「懸掛的絲帶」之意。

伯努利雙紐線是雙曲線關於圓心在雙曲線中心的圓的反演圖形。

其它的表示公式

伯努利雙紐線在極坐標中也有簡潔的表示。

$r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta \,$

在雙極坐標系，伯努利雙紐線的方程也類似：

$rr'={\frac {a^{2}}{2}}$

伯努利雙紐線的參數方程為：

${\begin{cases}x=a{\sqrt {2cos2\theta }}cos\theta \\y=a{\sqrt {2cos2\theta }}sin\theta \end{cases}},\theta \in [-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{4}}]\cup [{\frac {3}{4}}\pi ,{\frac {5}{4}}\pi ]$

曲率

伯努利雙紐線的曲率在直角坐標系中可以表示為:

$\kappa =\pm 3(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}a^{-2}\,$

正負號取決於描繪曲線時所取的方向。伯努利雙紐線的曲率有一個有趣的性質：其每一點上的曲率的絕對值與此點到原點的距離成正比關係。

弧長及橢圓函數

在歷史上，對伯努利雙紐線之弧長的計算導致了十八世紀時對橢圓積分的研究。1800年左右，高斯開始對橢圓積分的逆：橢圓函數進行研究。他的大部分成果並沒有在當時發表，只是零散地出現在《算術研究》的腳註中。

參見

• Booth雙紐線

參考來源

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 4–5,121–123,145,151,184. ISBN 0-486-60288-5. 

外部連結

• Mathworld - Lemniscate （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）