1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

数学上，1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...是一无穷级数，在数学史上是其中一个较早给算出总和的例子，由阿基米德于公元前250-200年发现，其总和为1/3。一般来说，对于任何一个 a，若等比数列的第一项是 a，而公比为1/4，其收敛总和如下：

$a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}a.$

图像示范

3s = 1

通常以正方形和三角形来展示“1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...”这一无穷级数；将一个正方形或一个三角形分成四等分，每一分的面积为原先的四分一，并不断重复（如图左）。

假设图左的正方形面积为1，则最大的黑色正方形面积为（1/2）x（1/2）= 1/4。同样地，第二大黑色正方形的面积为1/16，第三大黑色正方形面积为1/64。如此类推，黑色正方形占的所有面积为1/4 + 1/16 + 1/64 + ...，这也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面积。由于这三种颜色的正方涵盖正个原先的正方形，数学上写成：

$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$

3s = 1

同样的几何方法也适用于三角形，如图右。如果大三角形的面积为1，则最大的黑色三角形的面积为 1/4，依此类推。另外，整个图案与其中的上部分次小三角形中的图案，具有自相似的性质。若图案不断重复，将形成一个谢尔宾斯基三角形。

阿基米德

抛物线的求积

阿基米德在其《抛物线的求积》中，以穷竭法求抛物线内的面积，在过程中牵涉到一系列的三角形。左图有一抛物线，其中AE为割线，被分成相等线段，阿基米德证明三角形CDE和三角形ABC的和是三角形ACE面积的 1/4。然后，他分别在三角形CDE和三角形ABC上相似地各画上两个三角，这四个三角的面积总和为三角形CDE和三角形ABC的 1/4。如此类推，他证明抛物线与割线之间的面积是三角形ACE的4/3。

命题23：设一系列的面积 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大，而每个面积为下一个面积的4倍，则：

$A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$

为证明以上命题，阿基米德先计算：

${\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}$

别一方面：

${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).$

将这方程式减去之前的方程式：

$B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$

再在方程式两面各加上A，以得到最终结果

现今，1 + 1/4 + 1/16 + ... 的标准写法如下：

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$

参考书目

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• Mabry, Rick. Proof without Words: 1/4 + (1/4)² + (1/4)³ + ⋯ = 1/3. Mathematics Magazine. February 1999, 72 (1): 63. JSTOR 2691318. 
• Nelsen, Roger B.; Alsina, Claudi. Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics. MAA. 2006. ISBN 0-88385-746-4. 
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP. 1994. ISBN 0-19-853585-6. 
• Stein, Sherman K. Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?. MAA. 1999. ISBN 0-88385-718-9. 
• Swain, Gordon; Dence, Thomas. Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited. Mathematics Magazine. April 1998, 71 (2): 123–30. JSTOR 2691014. doi:10.2307/2691014.