阶加

在数学中，正整数的阶加（英语：Termial）是所有小于及等于该数的正整数的和，计为n?。例如：

$5?=5+4+3+2+1=15\,.$

根据空和的惯例，0?的值为0。

该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从1到n的整数的积的阶乘函数的加法模拟。他用它来说明域从正整数到实数的扩展。

正整数的阶加也称为三角形数。最初的几个（OEIS数列A000217）是

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

历史

18世纪以来，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的域扩展到实数甚至复数，并最终提出了Γ函数。1997年，高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数n?，作为阶乘的加法模拟，以便说明域扩展的含义。

定义

阶加函数由和定义

$n?=1+2+3+\cdots +(n-2)+(n-1)+n\,,$

最初整数n ≥ 1。这可以用求和符号表示为

$n?=\sum _{i=1}^{n}i.$

从这些公式，可以得出递回关系式

$n?=n+(n-1)?\,.$

例如：

${\begin{aligned}5?&=5+4?\\6?&=6+5?\\50?&=50+49?\end{aligned}}$

可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数：

$n?={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

例如：$100?={\frac {100\times 101}{2}}=5050$

零的阶加

为了将递推关系扩展到n = 0，有必要定义

$0?=0$

所以

$1?=1+0?=1.$

非整数的阶加

非整数值的阶加函数也可以使用公式$n?={\frac {n(n+1)}{2}}$。

例如：$({\frac {1}{2}})?={\frac {3}{8}}$

应用领域

阶加在数学中不常使用，但它仍然在一些领域应用，如组合数学。

• 对于n个不同的元素，组合2个元素的方法数量等于(n − 1)?。这就是说

${n \choose 2}=(n-1)?\,.$

• 在玩4个4时，阶加可以是找到所需表达式的有用工具，尤其是在规则不允许使用小数点和平方根的情况下（这是因为数字0和2是不可用的）。例如：

$13=4?+4-4\div 4$

$18=4!+4?-4\times 4$

阶加的和和函数

双阶加

类似于双阶乘，所有奇数直到某个正奇整数n的和称为n的双阶加，和表示为n??。定义为

$(2k-1)??=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)=1+3+5+\cdots +(2k-3)+(2k-1)\,.$

例如：$9??=1+3+5+7+9=25$.

n = 1, 3, 5, 7,...的双阶加是平方数序列。它开始为

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...（OEIS数列A000290）

质数阶加

质数阶加可以作为质数阶乘的一个类似物，表示为n§。它被定义为小于或等于n的质数之和，即

$n\S =p_{\pi (n)}\S =\sum _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}\,,$

$\pi (n)$是素数计数函数。

例如：$11\S =p_{5}\S =2+3+5+7+11=28$

前几个结果是

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...（OEIS数列A007504）

倒数阶加

倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个调和数。

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=H_{n}.$

例如：$\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}.$

参见

• 三角形数
• 求和符号
• 阶乘
• 阶幂