洛伦兹群

亨德里克·安东·洛伦兹 (1853–1928)，洛伦兹群以其姓氏命名。

物理学与数学中，洛伦兹群（英语：Lorentz group）为闵可夫斯基时空中，所有洛伦兹变换所构成的群，其涵盖了除了重力现象以外的所有经典场。洛伦兹群是以荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹来命名。

以下领域的数学形式：

• 狭义相对论中的运动学
• 电磁学理论中的麦克斯韦方程组
• 电子理论中的狄拉克方程

在洛伦兹变换下皆保持不变。因此洛伦兹群展现了许多自然定律的基础对称性。

基本性质

洛伦兹群是庞加莱群的子群。庞加莱群是闵可夫斯基时空中所有等距同构（Isometry）的群。洛伦兹变换为所有保持原点固定的等距同构。因此，洛伦兹群为闵可夫斯基时空中等距同构群的迷向子群（isotropy subgroup）。因为这个缘由，洛伦兹群有时也称作“齐次洛伦兹群”（homogeneous Lorentz group），而庞加莱群被称作“非齐次洛伦兹群”（inhomogeneous Lorentz group）。洛伦兹变换是线性变换的例子；闵可夫斯基时空中的广义等距同构变换为仿射变换。

数学中，洛伦兹群可以描述为广义正交群O(1,3)，亦即R⁴中保持二次型的矩阵李群

$(t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$。

此二次型可以矩阵形式表示，在物理学中被诠释为闵可夫斯基时空中的度规张量：

$\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$。

洛伦兹群是六维非连通非紧致非阿贝尔实李群。它的四个连通单元是非单连通的。

洛伦兹群的单位连通区（就是包含单位元的连通单元）本身就是一个群，常被称为限制洛伦兹群，记号为SO⁺(1,3)。限制洛伦兹群包含了那些保存空间取向和时间方向的洛伦兹变换。

在量子场论中，SL(2, C)常常被称为劳伦兹群，而SO⁺(1,3)被视为它的一个特定（向量）表示。

连通单元

因为洛伦兹群O(1,3)是李群，所以它不仅有群的性质，而且可以在拓扑学上描述成光滑流形。洛伦兹群作为光滑流形，拥有四个连通单元。直观上来说，就是它由四个拓扑分离的部分组成。

洛伦兹群的四个连通单元可以依据其元素的两种变换性质而分成两类：

• 有些元素会在时间反演的洛伦兹变换（例如指向未来的类时向量会被逆转成指向过去）下被逆转。
• 有些元素会在非正规洛伦兹变换（例如特定的四脚场）下让取向被逆转。

保存时间方向的洛伦兹变换称为正时（orthochronous）洛伦兹变换。由所有正时洛伦兹变换组成的子群，记号为O⁺(1,3)。

保存空间取向的洛伦兹变换称为正规（proper）洛伦兹变换，作为线性变换时，它们的行列式都是+1。非正规（improper）洛伦兹变换的行列式则都是–1。由所有正规洛伦兹变换组成的子群，记号为SO(1,3)。

既保存时间方向又保持空间取向的洛伦兹变换就叫做正规正时洛伦兹变换，它们组成正规正时洛伦兹子群，又称限制洛伦兹群（restricted Lorentz group），记号为SO⁺(1,3)。注意有些作者会使用SO(1,3)或甚至O(1,3)来表达SO⁺(1,3)。

相关条目

• 洛伦兹变换
• 庞加莱群
• 李群