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阶梯形矩阵

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线性代数中,一个矩阵如果符合下列条件的话,我们称之为行阶梯形矩阵行梯形式矩阵(英语:Row Echelon Form):

  • 若某行有个非零元素,则必在任何全零行之上。
  • 某行最左边的(即第一个)非零元素称为首项系数(leading coefficient)。某列的首项系数必定比上一列的首项系数更靠右(某些版本会要求非零行的首项系数必须是1[1])。

因为首项系数要不是最靠右的,要不就是左边都是零,所以根据上面二点,在首项系数所在的列中,在首项系数下面的元素都会是零。

这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵:

有时候,增广矩阵右边的直线也会省略。

简化列阶梯形矩阵

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简化列阶梯形矩阵简约行梯形式矩阵reduced row echelon form),也称作行规范形矩阵row canonical form),如果满足额外的条件:

  • 每个首项系数是1,且是其所在列的唯一的非零元素。例如:

注意,这并不意味着简化列阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如,如下的矩阵是简化行阶梯形矩阵:

因为第3列并不包含任何列的首项系数。

矩阵变换到行阶梯形矩阵

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通过有限步的行初等变换,任何矩阵可以变换为行阶梯形矩阵。由于行初等变换保持了矩阵的行空间,因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。

行阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如,行阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是行阶梯形矩阵。但是,可以证明一个矩阵的简化行阶梯形矩阵是唯一的。

线性方程组

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如果一个线性方程组增广矩阵是行阶梯形矩阵,则其系数矩阵也是行阶梯形矩阵。类似的,如果一个线性方程组的增广矩阵是简化行阶梯形矩阵,则其系数矩阵也是简化行阶梯形矩阵

一些示例

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定义:

例子:

错误示例:

注:

  • 矩阵1:第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零(有非零项4),见定义第二条,所以不是行阶梯型矩阵。
  • 矩阵2:全为零的行应该在非全为零行的下方,见定义第三条,所以不是行阶梯型矩阵。
  • 矩阵3:k+1行比k行的第一个非零项之前的0少,见定义第三条,所以不是行阶梯型矩阵。

简化行阶梯形矩阵的例子:

参见

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参考来源

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  1. ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290