线性代数中，一个矩阵如果符合下列条件的话，我们称之为行阶梯形矩阵或行梯形式矩阵（英语：Row Echelon Form）：
- 若某行有个非零元素，则必在任何全零行之上。
- 某行最左边的（即第一个）非零元素称为首项系数（leading coefficient）。某列的首项系数必定比上一列的首项系数更靠右（某些版本会要求非零行的首项系数必须是1[1]）。
因为首项系数要不是最靠右的，要不就是左边都是零，所以根据上面二点，在首项系数所在的列中，在首项系数下面的元素都会是零。
这个3×4矩阵是行阶梯形矩阵：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&2&a_{3}&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc06dd95232274f69fa392481f1f1292842886)
有时候，增广矩阵右边的直线也会省略。
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&a_{1}&a_{2}&b_{1}\\0&2&a_{3}&b_{2}\\0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350b679f2bac92c41ee31058bd36ba7542172a3e)
简化列阶梯形矩阵或简约行梯形式矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），如果满足额外的条件：
- 每个首项系数是1，且是其所在列的唯一的非零元素。例如：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/530b9a218da41b816d92865b882e6b89e595311e)
注意，这并不意味着简化列阶梯形矩阵的左部总是单位阵。例如，如下的矩阵是简化行阶梯形矩阵：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|c}1&0&1/2&0&b_{1}\\0&1&-1/3&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640d36cafff94579ed7aac7a7751b870ce7e9dff)
因为第3列并不包含任何列的首项系数。
通过有限步的行初等变换，任何矩阵可以变换为行阶梯形矩阵。由于行初等变换保持了矩阵的行空间，因此行阶梯形矩阵的行空间与变换前的原矩阵的行空间相同。
行阶梯形矩阵的结果并不是唯一的。例如，行阶梯形矩阵乘以一个标量系数仍然是行阶梯形矩阵。但是，可以证明一个矩阵的简化行阶梯形矩阵是唯一的。
如果一个线性方程组的增广矩阵是行阶梯形矩阵，则其系数矩阵也是行阶梯形矩阵。类似的，如果一个线性方程组的增广矩阵是简化行阶梯形矩阵，则其系数矩阵也是简化行阶梯形矩阵。
定义：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&1&a_{4}&a_{5}\\0&0&1&a_{6}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdbc2f2d71e8c1e9bc1e63c755ab4bc8f240343)
例子：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc}1&8&9\\0&1&2\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}1&-6&33\\0&1&0\\0&0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52074a1d6c94f669609bc7937a98536ebc7f39d6)
错误示例：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-8\\0&1&0&0\\0&4&1&26\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}1&-29&3\\0&0&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&6&7\\0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb26dc6ddea29e9db3dc03641ed371682a633d5a)
注：
- 矩阵1：第二列的第一非零项1的下方的列项不全为零（有非零项4），见定义第二条，所以不是行阶梯型矩阵。
- 矩阵2：全为零的行应该在非全为零行的下方，见定义第三条，所以不是行阶梯型矩阵。
- 矩阵3：k+1行比k行的第一个非零项之前的0少，见定义第三条，所以不是行阶梯型矩阵。
简化行阶梯形矩阵的例子：
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccccc|c}1&9&0&5&0&17\\0&0&1&0&0&-3\\0&0&0&0&1&32\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568cc39fba1fc09caec583d36289a9f9b1c0c3c4)
- ^ Leon, Steve, Linear Algebra with Applications 8th, Pearson: 13, 2009, ISBN 978-0136009290
