润德勒坐标

相对论中，“双曲加速参考系”坐标构成了平直闵可夫斯基时空中重要且有用的坐标卡系统。狭义相对论中，一均匀加速的物体进行所谓的双曲运动；在其固有参考系中，该物体是静止的。这现象可与均匀重力场相应。关于平直时空中之加速度的一般性论述，参见狭义相对论中的加速度。

本文中，光速定义为c = 1，惯性坐标系为(X,Y,Z,T)，双曲坐标系则为(x,y,z,t)。这类双曲坐标系可主要分为两大类，与加速观察者位置有关：若观察者时间T = 0时位在X = 1/α（其中α为常数值的固有加速度，由共动的加速规测得），则双曲坐标系称为“润德勒坐标”（或译林德勒坐标；英语：Rindler coordinates），与之相应的是“润德勒度规”（Rindler metric）若观察者时间T = 0时位在X = 0，则双曲坐标系有时称为“穆勒坐标”（Møller coordinates）或“寇特勒-穆勒坐标”（Kottler-Møller coordinates），与之相应的是“寇特勒-穆勒度规”（Kottler-Møller metric）。透过采用雷达坐标，可得到一常与双曲运动观察者有关的替代坐标卡（Chart）。雷达坐标有时也称作“拉斯坐标”（Lass coordinates） 寇特勒-穆勒坐标以及拉斯坐标也常标示为润德勒坐标。

关于润德勒坐标的历史，这样的坐标系在狭义相对论发表不久后即被引入，在研究双曲运动此一概念的同时也被研究：与平直闵可夫斯基时空的关系如阿尔伯特·爱因斯坦（1907年，1912年）、马克斯·玻恩（1909年）、阿诺·索末菲（1910年）、马克斯·冯·劳厄（1911年）、亨德里克·洛伦兹（1913年）、弗里德里希·寇特勒（1914年）、沃尔夫冈·泡利（1921年）、Karl Bollert（1922年）、Stjepan Mohorovičić（1922年）、乔治·勒梅特（1924年）、爱因斯坦与纳森·罗森（1935年）、Christian Møller（1943年，1952年）、Fritz Rohrlich（1963年）、哈利·拉斯（1963年）；与广义相对论中平直或弯曲时空的关联性：沃尔夫冈·润德勒（1960年，1966年）。

润德勒参考系的特征

润德勒图卡（Rindler chart），方程(1a)中$\alpha =0.5$，绘于闵可夫斯基图上。虚线为润德勒视界（Rindler horizons）。

以沿$X$-direction方向、常数值固有加速度$\alpha$进行双曲运动的物体，其世界线为固有时$\tau$以及快度$\alpha \tau$的函数，关系式为：

$T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )$。

其中$x=1/\alpha$为常数，$\alpha \tau$为变数。这样的世界线形态为双曲线$X^{2}-T^{2}=x^{2}$。阿诺·索末菲展示了此方程组可重新表示为：$x$为变数，而$\alpha \tau$为常数；如此可表现出共动观察者所测量到双曲运动物体的“静止型态”。设定$\tau =t$，也就是采用了观察者的固有时作为整体双曲加速参考系的时间，则惯性坐标与双曲坐标之间的转换式变为：

$T=x\sinh(\alpha t),\quad X=x\cosh(\alpha t),\quad Y=y,\quad Z=z$

1a

逆转换式为：

$t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z$

对其微分并代入闵可夫斯基度规$ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}$，则双曲加速系的度规张量为

$ds^{2}=-(\alpha x)^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

1b