反函数
外观
此条目需要补充更多来源。 (2023年12月29日) |
在数学里,反函数,也称为逆函数(英语:Inverse function),为对一个定函数做逆运算的函数。
定义与存在性
[编辑]设为一函数,其定义域为,陪域为。如果存在一函数,其定义域和陪域分别为,并对任意有 、对任意有,则称为的反函数,记之为。[注 1]
若一函数有反函数,便称此函数可逆。一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射,即同时为单射和满射。[1]
若为一实函数,还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。
与限制的关系
[编辑]一部分函数尽管本身不可逆,但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。[2]例如
并不是单射,因和均为。但若取其到上的限制,则这一限制为双射,并拥有反函数
反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性,如
这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数,则需要限定其定义域,如反正弦函数通常定义为正弦函数到解析失败 (SVG(MathML可通过浏览器插件启用):从服务器“http://localhost:6011/wikicn.playgoteam.workers.dev/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \left[-\frac\pi 2, \frac\pi 2\right]} 上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域,称作其主值。
性质
[编辑]- 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
- 原函数与其反函数的函数图像关于函数的图像对称。
- 严格单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。
- 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数,例如
注释
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ Smith, Geoff. Introductory Mathematics: Algebra and Analysis. London: Springer-Verlag. 1998: 30 [2023-12-29]. ISBN 978-1-4471-0619-7. (原始内容存档于2023-12-29).
- ^ Clapham, Christopher; Nicholson, James. inverse function. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford University Press. 2014. ISBN 978-0-19-175902-4.