光线转换矩阵分析(又称ABCD矩阵分析),是用于某些光学系统,特别是激光领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix),这个矩阵与一代表光线的向量相乘之后,可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中,用以追踪通过粒子加速器中磁铁装置的粒子,详情请见电子光学。
以下介绍的技术使用了近轴逼近法,此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。[1]
光线追踪技术以两个平面为参考面,分别为输入平面与输出平面,这两个平面均垂直于系统的光轴。此外,为了理论的一般性,我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ1,从距离光轴 x1 的入射面进入系统,并在距光轴的x2的输出面呈θ2射出,而n1, n2分别是在输入面与输出面中介质的折射率。
这些参数可表成下列关系式:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267d8a28d863821428a9fca2f887d49115850499)
当
![{\displaystyle A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c710ae6a36a5f2048f38de1f21e4b87c2cd61c1b)
且
![{\displaystyle C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9645bb98b3987eaefe75af52568ffa19d8ef3d0)
这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相连结,M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系,可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。
![{\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1b59eaf4ed2a57011aaa757770d6f7bd240560)
因此,若是输入面与输出面在同一个介质中,或是在具有同一个折射率的不同介质中,M等于1,相似的技术可以应用于电路学上,见二埠网络。
若两个面中有空间存在,光线转换矩阵可以表示成:
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986cb67b61222ce0b99018a5fc5051c163b0dfa5)
其中d表示两参考平面的距离(沿着光轴测量),此矩阵有下列关系:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309c8a2e82cf7ccdd28b6ff5c447a14ab02d12bb)
两光线各别的参数可表示如下:
![{\displaystyle {\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d361539d2a36da5e2f1b395b3053419ac4154d)
另一个范例为一薄透镜,其光线转画矩阵为:
![{\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedefeaadffaf8ec200d75d89f3b804b20874952)
其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统,光线转化矩阵可以交互相乘,形成一总括光线转化矩阵,以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:
![{\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2582f1066ee448b846450b6d6b984267a353763)
注意,矩阵的乘法并没有交换率,因此下面的系统先为一薄透镜,后为一空间。
![{\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccdbf1343c15d08823c0e334546a82ff308d52c)
因此,矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率的介质,或者是面镜的反射等等。
光线转化矩阵表格[编辑]
简易的光学元素
共振稳定性[编辑]
RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用,像是激光。在最简单的情况下由两个完全相同,具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的,上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2,彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统,此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:
![{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138c367d4dcfadb5525321f9afbb637467dbbeae)
光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器),意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦,并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”,入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。 使得:
![{\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be58f5989c045c206a99e47af25141358a6a173f)
此为一本征方程式:
![{\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681ee27a27c9163b389649865a0ff87dee9916e8)
其中I为一2x2单位矩阵。
我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值:
![{\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48436add260bfbba0d8555ad1c04b38d4cdf47b7)
可导出以下特征方程式:
![{\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3daf9b6bae3a6a373605184b41b74c2da30042)
其中
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd5c72e8c603d82586379923c98143a4646f1ee)
是RTM的轨迹,且
![{\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdd83403848b0dd71dd6ec887a7e967b87eb821)
是RTM行列式值的倒数,带入消去后我们可以得到:
![{\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89826b307d1d3192f243aed1618d8f8b52a24206)
其中
![{\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91b46cb573e4f85351086b20909e4de137ca8f7)
是稳定参数。本征值是本征方程式的解,由一元二次方程式可以解出:
![{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae69835ccab71a60ce34ed172b00f24fff4b49be)
现在,考虑一个光线通过系统N次:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8c7bb8e8f0f377b00079cceca56a3598eae646)
如果此波导是稳定的,所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方,意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1,则两本征值均为实数,又因为λ*λ- = 1 ,因此其中一个的绝对值必须大于1,这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中,g2≤1,以及本征值可以用复数形式表示:
![{\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2dd3640f2a81bbd6212197456a9e36ed7952f9)
以g=cos(φ)表示。
假设
且
,
是
,
的本征向量,此两向量横跨所有向量空间,因为他们是正交
因此输入的向量可以被表示成:
,
and
为某常数
再通过N个波导后,输出则为:
![{\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4297889dcccb6db7645eefee9b05651e45fe5851)
这代表一个周期函数。
高斯光束的光线转化矩阵[编辑]
光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams),若有一高斯光束波长为λ0,曲率半径为R,光点大小w,折射率n,我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:
![{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5172ada580656cde4da2bdb874873ad0acf2c0f)
此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ddb86c6b4728e88db59c8188c578ff26e73bb5)
其中k为标准化常数,此常数可以让光束向量的第二个成分为1,利用矩阵乘法:
![{\displaystyle q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0af0fa494f8b243e2fee2a7f5f304571c4ee825)
且
![{\displaystyle 1=k(Cq_{1}+D)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540e01de4f15682dfacb8660251e1b1971186c55)
由上式除以下式可得:
![{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c3d684b38f105b55348da0b5a50e5a83ab8fa9)
此方程式常以倒数形式表示:
![{\displaystyle {1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959843b73ed09b02b7706ee96b476a1c9e14514c)
范例:Free space[编辑]
假设一光束通过一距离为d的空间,光线转化矩阵为:
因此
![{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6830cf30a378fe80966953369b955079019427)
这表示,通过一空间会增加半径d。
范例:薄透镜[编辑]
假设一光束通过一焦距为f的薄透镜,光线转化矩阵为:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f9661cb6a53c6061e4b5d94a12a12fea87c52ca)
因此
![{\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a7d4aa8937f0c4314f474aeb55876603e73599)
![{\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c60e9815cbbcac2cc7ce21bd15e7d82301e0d47)
再次强调,只有q的实部会被影响,曲率半径会减少1/f。
参考文献[编辑]
- Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. Section 1.4, pp. 26 – 36.
外部链接[编辑]