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譜相關密度

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譜相關密度 (spectral correlation density , SCD),有時也稱為循環譜密度(cyclic spectral density)或頻譜相關函數(spectral correlation function),是描述時間序列的所有頻移版本對的交叉頻譜密度的函數。譜相關密度僅適用於周期平穩過程,或稱為循環平穩過程,普通平穩過程不具備譜相關性。 [1]譜相關被廣泛用於信號檢測信號分類[2] [3]譜相關密度與每個雙線性時頻分佈密切相關,但不被認為是 Cohen 類分佈。

定義

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時間序列的循環自相關函數計算如下:其中 (*) 表示複數的共軛。根據Wiener-Khinchin 定理[有疑問,需討論],譜相關密度為:

估計方法

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對數碼訊號而言,SCD 可按任意頻率和時間解像度進行估計。由於直接計算SCD具有較高的計算複雜性,為滿足信號實時分析的需求,有幾類較為有效的信號譜相關估計方法被提出。

目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和帶狀譜相關法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm), [4]近日,又有一種新的快速頻譜相關 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法[5]被提出 。

FFT累加法(FAM)

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在本節中,我們將介紹實際在計算機上估計SCD的方法。如使用MATLABPython中的NumPy庫,以下步驟的實現將相當簡單。

FFT累加法 (FAM) 是一種計算 SCD 的數字方法。它的輸入是一組 IQ 樣本矩陣,輸出是復值圖像(或者說是一復值矩陣),即目標 SCD。FAM輸入的信號、或說是 IQ 樣本矩陣 ,應為復值張量的形式,或者是尺寸為的多維數組的形式 ,其中數組中的每個元素都是一個 IQ 樣本點。

FAM的第一步,是將所輸入信號分為多個相互重疊且長度為的數據幀,並將其組合成矩陣形式,記為

其中,兩數據幀間起始位置相距的長度。為實現重疊,應有是形狀為 的張量, 取決於能夠容納多少幀 。

隨後,將一形狀為窗函數 ,應用於的每一行 (如漢明窗等),得到

其中是逐元素乘法,也就是將矩陣中的每個元素分別與對應位置的窗函數相乘。接下來,要對中的每一行進行 FFT ,得到

就是通常稱為瀑布圖或頻譜圖的矩陣。 FAM 的下一步是校正FFT後數據幀的相位延遲。

其中對應於 FFT 結果中的每個數字頻率,是形狀為張量。

隨後,通過求經 FFT 後結果的自相關,得到形狀為張量

其中表示復共軛。換言之,若記 的矩陣,可改寫為

其中 H 表示矩陣的Hermitian (共軛轉置)矩陣。接下來的一步,是將 沿着第一維分別進行 FFT。

是一個包含完整 SCD 信息的三維張量,但我們的目標是構建形狀為的二維張量,即矩陣或着圖像的形式,張量的兩個維度分別對應特定頻率和循環頻率中所有的值可以通過張量的到,而所有的頻率值則記錄在張量中。這裏的 是歸一化頻率。

上式中, 。至此,SCD 可以退化為一個二位的圖像或矩陣中的對都可以賦為0,有效值可以通過獲取 。

跳過第二次 FFT 直接估計 SCD

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完整計算一次 SCD 具有相當大的複雜度,複雜度的主要來源是第二輪 FFT。幸運的是,從估計 SCD 的計算公式為

為了更小的計算複雜度,我們可以通過下式,直接從計算,因為在 FFT 前或後計算FFT中所有數值的均值是等效的。

需要注意的是,將看起來像真正 SCD 的 旋轉45 度的版本 。

參考文獻

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  1. ^ Gardner, W.A. Measurement of spectral correlation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1986-10-01, 34 (5): 1111–1123. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1986.1164951. 
  2. ^ Yoo, Do-Sik; Lim, Jongtae; Kang, Min-Hong. ATSC digital television signal detection with spectral correlation density. Journal of Communications and Networks. 2014-12-01, 16 (6): 600–612. ISSN 1229-2370. S2CID 757095. doi:10.1109/JCN.2014.000106. 
  3. ^ Hong, S.; Like, E.; Wu, Zhiqiang; Tekin, C. Multi-User Signal Classification via Spectral Correlation. 2010 7th IEEE Consumer Communications and Networking Conference (CCNC). 2010-01-01: 1–5. ISBN 978-1-4244-5175-3. S2CID 17126519. doi:10.1109/CCNC.2010.5421830. 
  4. ^ Borghesani, P.; Antoni, J. A faster algorithm for the calculation of the fast spectral correlation. Mechanical Systems and Signal Processing. October 2018, 111: 113–118. Bibcode:2018MSSP..111..113B. ISSN 0888-3270. S2CID 125098069. doi:10.1016/j.ymssp.2018.03.059. 
  5. ^ Roberts, R.S.; Brown, W.A.; Loomis, H.H. Computationally efficient algorithms for cyclic spectral analysis. IEEE Signal Processing Magazine. 1991-04-01, 8 (2): 38–49. Bibcode:1991ISPM....8...38R. ISSN 1053-5888. S2CID 1763992. doi:10.1109/79.81008.