16階的沃爾什矩陣與一個向量相乘
自然序的阿達瑪矩陣排列成單調變化的阿達瑪矩陣。自然序矩陣中每行符號變化的次數為(0、15、7、8、3、12、4、11、1、14、6、9、2、13、5、10),但是在單調順序矩陣中,符號變化的次數是單調的
沃爾什矩陣出現在損壞的TIFF圖像中
沃爾什矩陣(英語:Walsh matrix)是一個維度為
的方陣,其中n為自然數。該矩陣由-1和1組成,其所有的行與列都兩兩正交,即點積為0。這一概念由美國數學家約瑟夫·L·沃爾什於1923年提出,故而得名。[1]在沃爾什矩陣中,每一行都和一個沃爾什函數相對應。
沃爾什矩陣可視為阿達馬矩陣的一個特例,自然有序的阿達馬矩陣是由遞歸公式定義的,序列有序的阿達馬矩陣是通過重新排列行來形成的,這樣一行中的符號變化數就是遞增的。[1]
沃爾什矩陣用於計算沃爾什變換,在信號處理操作中的有實際應用。
維度為
(其中
)的阿達馬矩陣可由遞推的方式進行定義:
![{\displaystyle {\begin{aligned}H\left(2^{1}\right)&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H\left(2^{2}\right)&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da599cb5c04965aac8c81489509bab866d29cd6)
一般而言
![{\displaystyle H\left(2^{k}\right)={\begin{bmatrix}H\left(2^{k-1}\right)&H\left(2^{k-1}\right)\\H\left(2^{k-1}\right)&-H\left(2^{k-1}\right)\end{bmatrix}}=H(2)\otimes H\left(2^{k-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e5102b880b693b01fcb6929985006ad7e2244)
其中
且
,⊗代表克羅內克積。
根據符號變化的次數對所有的行進行重新排列。例如:
![{\displaystyle H(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb67a4d557226b961e7bcf35b82c17b7bad236d8)
每行分別有0、3、1、2次符號變化,因此,我們對這些行進行重排:
![{\displaystyle W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d1b3dc4d3b23dfa73150f9a6f7adb2c2f211fc)
這樣,每行都有0、1、2、3次符號變化。
沃爾什矩陣的替代形式[編輯]
順序排序[編輯]
沃爾什矩陣的行順序可以通過阿達馬矩陣首先經過位序顛倒排列,然後經過格雷碼排列得到:[2]
![{\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8182bd22e3417054a4eb3c210af7f80edc5099)
其中每行分別有0、1、2、3、4、5、6、7次符號改變。
參考文獻[編輯]