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高階範疇

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數學中,高階範疇範疇論高階下的情形,一些等式可寫成箭頭,以便能明確地研究等式背後的結構。高階範疇論常應用於代數拓撲學(特別是同倫論),用於研究拓撲空間的代數不變量,如其基本准範疇

嚴格高階範疇

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一個平凡範疇擁有物件與態射兩類組分,在高階範疇論背景下,這些對象統稱為1-態射。2-範疇在1-態射間加入了2-態射,這樣往復下去,直到範疇包含(n-1)-態射與其間的n-態射,便得到了n範疇。

以記為Cat的範疇為例,其是包含所有小範疇和函子的範疇,實際上是個以自然變換為2-態射的2-範疇。同理,包含所有(小)n-範疇的n-Cat實際上是(n+1)-範疇。

n-範疇的定義通過對n的歸納來實現:

所以,1-範疇只是局部小範疇(locally small category)。

Set么半範疇結構以笛卡兒積為張量,以單元素為單元。事實上任何具有有限的範疇都可賦予么半結構。n-Cat的遞歸構造很好用,因為如果一個範疇具有有限積,則增廣範疇也具有有限積。

雖然這個概念對同倫論等的某些目的來說過於嚴格,因為在同倫論中,「弱」結構以更高範疇的形式展現,[1]但也出現了嚴格立方高階同倫廣群,其在同調同倫的邊界上為代數拓撲提供了新的基礎,參見下面書中提到的非阿貝爾代數拓撲這篇文章。

弱高階範疇

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在弱n-範疇中,結合性和同一性的條件不再嚴格(即不再由等價性得出),而是在下一層的同構之前得到滿足。拓撲學中的一個例子是道路的構成,其中的同一性和結合性只在重參數化時成立,因此也只在同倫時成立,這就是這個2-範疇的2-同構。這些n-同構必須在態射集間有很好的表現,弱n-範疇在表達這一點上存在困難。弱2-範疇也稱作雙範疇,是第一個有明確定義的。它們的一個特殊性是,只有一個物件的雙範疇其實就是么半範疇,所以雙範疇也可以說是「有許多物件的么半範疇」。弱3-範疇也稱作三範疇,再往上泛化,定義會越來越難明確。高階範疇互相等價的條件與意義,已經成為範疇論中新的研究對象。

准範疇

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准範疇是滿足弱Kan條件的單純集合。André Joyal指出它們是高階範疇論的良好基礎。2009年,該理論得到了雅各·盧里的進一步系統化,他簡單將它們統稱為無窮範疇,儘管後者也是對任何k的範疇的所有模型的一個通用術語。

簡單增廣範疇

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簡單增廣範疇,或稱簡單範疇,是在簡單集合上增廣得到的範疇。但如果看成是範疇,那麼許多範疇相關的概念(如極限 (範疇論))便與增廣範疇的相應概念不一致。對其他增廣模型,如拓撲增廣範疇來說也是如此。

拓撲增廣範疇

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拓撲增廣範疇,或稱拓撲範疇,是在拓撲空間的一些小範疇上增廣來的範疇,如緊生成豪斯多夫空間

西格爾範疇

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這是由Hirschowitz和Simpson在1998年引入的高階範疇模型,[2]部分是受Graeme Segal於1974年的結果啟發。

另見

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註釋

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  1. ^ Baez & Dolan 1998,第6頁
  2. ^ Hirschowitz, André; Simpson, Carlos. Descente pour les n-champs (Descent for n-stacks). 2001. arXiv:math/9807049可免費查閱. 

參考文獻

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外部連結

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