青朱出入圖

青朱出入圖，是東漢末年數學家劉徽根據「割補術」運用數形關係證明勾股定理的幾何證明法，其法富有東方智慧，特色鮮明、通俗易懂。

劉徽 青朱出入圖

歷史

勾股定理（也稱商高定理）是中國古代天文觀測實踐中立竿測影的重大發現，在中國古代數學、天文曆法和工程運用極其廣泛，影響深遠。最早數學著作記述見於《周髀算經》中周公與商高的對話。對話中提及大禹治水時期，勾股定理就已經應用於治水工程中，還延伸至國家建章立制的政治高度—「故禹之所以治天下者，此數之所生也。」

《周髀算經》中記載，周公後人陳子敘述的勾股定理公式為「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

《史記·夏本紀》記載大禹治水：「陸行乘車，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左準繩，右規矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山。」其中的規和矩就是運用勾股定理的實用工具之一。

劉徽在《九章算術注》序言中，言及周代運用勾股定理立杆測影：「以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之數為大股，大股之勾即日徑也。雖夫圓穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉。」。這段論述，是勾股定理在古代中國用於立杆測影的佐證之一。

因此，歷代中國數學家對勾股理論非常重視，傾注大量心血進行研究，成果斐然，以東漢末期趙爽勾股弦圖（即：勾股圓方圖）為代表。

2002年第24屆國際數學家大會（ICM）在北京召開。中國郵政發行一枚郵資明信片，郵資圖就是這次大會的會標—中國古代證明勾股定理的趙爽弦圖。

趙爽 勾股圓方圖

在上述背景下，數學家劉徽（公元263年）作《九章算術注》時，依據其「割補術」為證勾股定理另闢蹊徑而作「青朱出入圖」。圖雖失傳，但據其「出入相補、以盈補虛」原理，參照書中類似方法，後人還原了此圖。

方法

劉徽描述此圖，「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。」其大意為，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再進行割補—以盈補虛，分割線內不動，線外則「各從其類」，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長。

上述內容直白表達就是，青朱兩個正方形經過分割、拼合成以弦長為邊長的新正方形，重點在於新形成的正方形是在原來兩個正方形基礎上拼合而成，這就完全適合直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。

此外，作為中國歷史上最偉大的數學家之一，劉徽作《九章算術注》時，在勾股理論方面逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，發展了勾股測量術。通過對「勾中容橫」與「股中容直」之類的典型圖形的論析，建立了相似勾股形理論。

評價

青朱出入圖在勾股定理幾何證明中別開生面，不着一字即可讓人心領神會，故與趙爽勾股圓方圖相映成趣，前者縱橫交錯寓圓於方，後者割矩為方巧施損益，為中華先祖最早發現勾股定理在理論上作出了完美之詮釋，是東方智慧的特定產物。

青朱出入圖因其特色鮮明，備受後世矚目。1978年，華羅庚先生修改舊作《大哉數學之為用》，重新以《數學的用場與發展》發表，文中對青朱出入圖給予極高評價：「順順便提一下，如果我們宇宙航船到了一個星球上，那兒也有如我們人類一樣高級的生物存在，我們用什麼東西作為我們之間的媒介？帶幅畫去吧，那邊風景殊，不了解；帶一段錄音去吧，也不能溝通。我看最好帶兩個圖形去：一個『數』一個『數形關係』（勾股定理）。為了使那裏較高級的生物知道我們會幾何證明，還可送去上面的圖形，即『青朱出入圖』。這些都是我國古代數學史上的成就。」

參考文獻

• 《九章算術注》
• 《周髀算經》
• 吳文俊主編 《中國數學史大系》 第三卷 第三章 劉徽對勾股理論的論述 第三節 ISBN 7-303-04557-0
• 郭書春 譯註 《九章算術》 上海古籍出版社 2009 ISBN 978-7-5325-5433-1