積測度

數學中，給出可測空間和其上的測度，可以獲得積可測空間和其上的積測度。概念上近似於集合的笛卡兒積和兩個拓撲空間的積拓撲。

設$(X_{1},\Sigma _{1})$和$(X_{2},\Sigma _{2})$是兩個測度空間，就是說$\Sigma _{1}$和$\Sigma _{2}$分別是在$X_{1}$和$X_{2}$上的σ代數，又設$\mu _{1}$和$\mu _{2}$是其上的測度。以$\Sigma _{1}\times \Sigma _{2}$記形如$B_{1}\times B_{2}$的子集產生的笛卡兒積$X_{1}\times X_{2}$上的σ代數，其中$B_{1}\in \Sigma _{1}$及$B_{2}\in \Sigma _{2}$。

積測度$\mu _{1}\times \mu _{2}$定義為在可測空間$(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2})$上唯一的測度，適合

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})$

對所有

$B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}$。

事實上對所有可測集E，

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E_{y})\,\mu _{2}(dy)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,\mu _{1}(dx)$，

其中$E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}$，$E_{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}$，兩個都是可測集。

這測度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯爾莫哥洛夫定理.

歐幾里得空間Rⁿ上的博雷爾測度可得自n個實數軸R上的博雷爾測度的積。

參考文獻

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