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真值語義

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邏輯的語義中,真值語義是對 Tarski主義語義的一種替代選擇。它主要由 Ruth Barcan Marcus、H. Leblanc、M. Dunn 和 N. Belnap 所擁戴。它也叫做(量詞的)代換釋義或代換量化。

Beth 的一個定理聲稱,在模型中一個域內所有成員除了那些被指派給常量的都可以被折消,假定了全稱量詞(存在量詞)可以被讀做公式的合取(析取),其中常量替代在量詞作用域內的變量的想法。比如,∀xPx 可以讀做 (Pa & Pb & Pc &...) 這裏的 a,b,c 是個體常量替代了在 Px 中的所有 x 的出現。

在真值語義和謂詞邏輯標準語義之間的主要區別是真值語義沒有。只有原子公式和量化公式的真值子句不同於真值語義。在真值語義中原子公式如 Pb 或 Rca 為真,若且唯若 b (的指稱物)是謂詞 P 的外延的成員,和若且唯若有序對 (c,a) 是 R 的外延的成員;在真值語義中原子公式的真值是基本的。全稱(存在)公式為真,若且唯若它的所有(某些)代換實例為真。比較於標準語義,它聲稱全稱(存在)公式為真,若且唯若對於這個域的所有(某些)成員,這個公式對於其中全部(某些)成立;比如,∀xA 為真(在一個釋義下),若且唯若對於域 D 的所有的 k,A(k/x) 為真(這裏的 A(k/x) 是用 k 代換 A 中 x 的所有出現的結果)。(這裏我們假定常量是以自身命名的--就是說它們也是這個域的成員)。

真值語義不是沒有問題。首先,強完備性定理緊緻性定理失效。要看到這些問題請考慮集合 {F(1), F(2),...}。明顯的公式 ∀xF(x) 是這個集合的推論,但它不是其任何有限子集的推論(所以從它是不可演繹的)。立即就可以得出緊緻性定理和強完備性定理二者對於真值語義失效。這由 Dunn 和 Belnap 在 1968 年給出的邏輯推論的修改定義所矯正。

另一個問題出現在自由邏輯中。考慮帶有無指稱的一個個體常量 c 和表示不存在的一個謂詞 F 的一個語言。那麼 ∃xFx 為假,即使它的一個代換實例(實際上在這個釋義下所有這種實例)為真。要解決這個問題我們簡單的增加一個限制條款,存在量化陳述在一個釋義下為真,至少一個代換實例在其中這個常量指稱存在的某個東西。

參見

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