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相交理論

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相交理論(Intersection theory)是代數幾何的主要分支之一,給出了給定代數簇的兩個子簇的交點信息。[1]簇理論更老,源於曲線上的貝祖定理消去理論;拓撲理論更快地達到了確定形式。

相交理論仍在不斷發展。目前的主要重點是:虛基本循環、量子相交環、格羅莫夫-威滕量及將相交理論從概形推廣到[2]

拓撲相交形式

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維度2n連通有向流形M相交形式是通過對H2n(M, ∂M)中的基類[M]上積求值,從而定義在第n上同調群(通常稱作「中維」)。確切地說,有雙線性形式

由下式給出

其中

n為偶數時這是對稱雙線性形式(因此2n = 4k),這時M符號數被定義為形式的符號數;n為奇數時,則定義為交替形式。這些形式可統稱為ε對稱形,當中ε = (−1)n = ±1分別表示對稱形和斜對稱形。某些情況下,可以將形式細化為ε二次型,但需要額外數據,如切叢的框架。也可以去除有向性條件,改用Z/2Z係數。

這些形式是重要的拓撲不變量。例如,米高·弗里德曼的一個定理指出,在同胚意義上,單連通4維流形(幾乎)由其相交形式決定。


龐加萊對偶性,我們可以從幾何角度思考這個問題。試為ab的龐加萊對偶擇有代表性的n維子流形AB,則λM (a, b)AB的有向交數(oriented intersection number),是良定義的,因為AB維數之和等於M的維數,所以它們通常交於孤立的點。這就是「相交形式」這一術語的由來。

代數幾何中的相交理論

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威廉·富爾頓在《相交理論》(1984)中寫道:

... 若AB是非奇異簇X的子簇,那麼交積A · B應是代數循環的等價類,代數循環與AB、以及ABX中的幾何位置密切相關。有兩種情況最著名。若相交是真相交(proper),即dim(AB) = dim A + dim B − dim X,則A · BAB的不可約成分的線性組合,係數是相交乘數。在另一個極端,若A = B是非奇異子簇,則自交公式表示A · BXA法叢的頂陳類表示。

安德烈·韋伊《代數幾何基礎》(1946)中主要關注的是在一般情況下給出相交乘法的定義。1920年代,巴特爾·倫德特·范德瓦爾登的工作已經涉及這一問題;在意大利代數幾何學派中,這觀點已廣為人知,但基礎問題並未以同樣的精神得到解決。

移動循環

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要使循環VW的相交機制運行良好,就不能只取循環的交集VW。若兩個循環處於「良位置」,則「交積」V · W就應包含兩個子簇的交集。循環若處於「不良位置」,例如平面上的兩條平行線,或包含直線的平面(在3維空間相交),相交都應該只有一個點,因為若要移動一個循環,這就是交點。兩循環VW的交集VW余維若等於VW余維之和,就稱相交為「真相交」(proper intersection)。 因此,我們使用循環上適當等價關係的「移動循環」概念。等價必須足夠廣,以至任給兩個循環VW都有等價循環V′W′使相交V′W′為真相交。當然,另一方面,對第二等價的V′′W′′V′W′需要等價於V′′W′′

就相交理論而言,「有理等價」是最重要的一種。簡言之,若在簇X(r + 1)維子簇Y上有有理函數f,則X上的兩r維循環有理等價;其中Y函數域k(Y)的元素或等價於函數f  : YP1,使得VW =  f−1(0) −  f−1(∞)(其中f−1(⋅)用乘法計算)。有理等價滿足上述要求。

交乘

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線與拋物線的交點

定義循環的交乘的指導原則是一定意義上的連續型。請看下面這個簡單例子:拋物線y = x2和軸y = 0的交點應為2 · (0, 0),因為若其中一個循環移動、接近所述位置時,兩個交點恰好匯聚於(0, 0)(圖中只描繪了方程的實解,會引起誤解)。

第一個令人滿意的交乘定義由讓-皮埃爾·塞爾給出:令周圍簇(ambient variety)X光滑(或所有局部環都正則),接着令VW都為(不可還原的閉)子簇,使其相交為真相交。這個構造是局部的,因此簇可用X的坐標環中的兩個理想IJ表示。設Z是交集VW中的一個不可約成分,z為其一般點。則Z在交積V · W中的乘法定義為

函子環的撓群(torsion group)z中的X的局部環長度上的交替和,對應子簇。這個表達式也稱作「塞爾Tor公式」。 註釋:

  • 第一個和
    的長度是對乘法的「天真」猜測;但正如塞爾指出的,這還不充分。
  • 和是有限的,因為正則局部環具有有限的Tor維度。
  • VW的相交不是真相交,則上述交乘的結果將為0。若是真相交,則其嚴格為正。(這兩點從定義看並不明顯)
  • 譜序列可以證明μ(Z; V, W) = μ(Z; W, V)

周環

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周環是循環模有理等價所得的群,以及下面的交換交積:

其中VW 橫截着相交,而是交集的不可約分解。

自交

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給定兩子簇VW,可取其相交VW,但也可以定義單個子簇的自交,方法要微妙些。

例如,給定面S上的曲線C,其與自身的相交就是自身:CC = C。這雖然對,但不夠好:任給曲面上兩條不同的曲線(沒有共同分量),它們相交於某個點集。可以數出點集包含的點數,得到「交數」。我們希望能對給定曲線左同樣的處理:不同曲線的相交就像兩個數相乘:xy,自交就像乘方:x2。形式上,這種類比就像是對稱雙線性形式(乘法)與二次型(乘方)。

其幾何解法是,將曲線C與略微偏移的自身相交。在平面上這意味着將曲線C向某方向平移,但一般情況下我們談論的是取與C線性等價的曲線C′,計算交C · C′的交點數,記作C · C。這不同於無關曲線CD的情形,前者的實際交點取決於C′的選擇,但C′′的「自交點」可解釋為C上的k一般點,且k = C · C。更恰當地說,C的自交點是C的一般點,乘法為C · C

或者,也可通過對偶話來代數地「解」這個問題,並查看[C] ∪ [C]的類——這既給出了一個數,又提出了幾何解釋問題。傳遞到上同調類,類似於用線性系統代替曲線。

自交數可以為負,如下所示。

例子

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考慮射影空間P2中的直線L:其自交數為1,因為所有直線與之相交1次。可以將L推到L′,對任意的L′的選擇都有L · L′ = 1,於是L · L = 1。就相交形式而言,我們說平面有x2類型的相交形式(只有一類直線,且都互相相交)。

注意在仿射平面上,可以將L推移到平行線上,於是交點數取決於推離的選擇。有人說「仿射平面沒有很好的相交理論」,而非射影簇上的相交理論要困難得多。

P1 × P1(也可解釋為P3中非奇異二次曲面Q)上的直線自交為0,因為直線可以從自身移開(是直紋曲面)。就相交形式而言,可以說P1 × P1有一個xy類型——有2類基本直線,相交於1點(xy),但自交為零(沒有x2y2項)。

拉開

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自交數的一個重要例子是拉開的特殊曲線,是雙有理幾何中的一個核心運算。給定代數曲面S,在一點拉開,會產生一條曲線C,其屬(genus)為0,自交數為-1(並不明顯)。推論:P2P1 × P1最小曲面(不是拉開),因為它們沒有任何具有負自交的曲線。事實上,卡斯泰爾諾沃收縮定理給出了相反的情況:每條(−1)曲線都是某個拉開的特殊曲線。

另見

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引用

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參考文獻

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書目

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  • Eisenbud, David; Harris, Joe. 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press. 2016. ISBN 978-1-107-01708-5. 
  • Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR1644323 
  • Fulton, William; Serge, Lang, Riemann-Roch Algebra, ISBN 978-1-4419-3073-6 
  • Serre, Jean-Pierre, Algèbre locale. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics 11, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1965, MR 0201468